A
я
Q-

Вычисление
It

<
\7
>
6я



1 0 0 P,=
0,58
3 ;
=0,417
21 1 Py=
0,33
3 ;
3 0 1 Р,,--
=0,1
67


400
0,167-0,583-0,333
0.583-0.417-0.333-0.667 -0,025
5
1
0 0,054

6
1
0

7
0
1

8
1
1

9
0
0

10
1
0

11
1
0

12
1
0


Примечание: О - несовпадение с <ключом>; 1 - совпадений с <ключом>.
Таблица 8
Вычисление четырехпольного коэффициента ассоциации Пирсона (ф)
ПеременнаяХ
Признак
Выполнение теста
Невыполнение теста
Всего
Нормальное а = 50 Ь = 20 а + Ь = 70
развитие Задержка с = 10 d = 20 с + d = 30
развития Всего а + с = 60 Ь + d = 40 п = 100
50-20-20-10 V60-40-70-30
=0,36.
138
оценить степень оптимальности задания по силе (трудности) (см. Трудность заданий
теста). Значение (р обратно пропорционально отношению частоты правильных и
неправильных ответов! Пограничные варианты (задачи, решаемые всеми, и задачи
чрезмерно сложные, решаемые относительно небольшим числом обследованных) обычно
исключаются из теста как неинформативные и неустойчивые. Пороговой величиной
неустойчивости пункта теста является превышение значения 1-ср = 0,71((р< 0,05).
При анализе опросников личностных с дихотомической формой ответов (<да>- <нет>,
<верно>-<неверно> и т. д.) составляемая в ходе расчета коэффициента (р
четырехклеточная матрица позволяет установить несимметричное распределение
утвердительных и отрицательных ответов.
При анализе четырехклеточных ассоциаций используется также коэффициент Юла:
Q=
ad-be ad+Ьс
Этот коэффициент, в отличие от (р, выражает одностороннюю связь, т.е. влияние одного
признака на другой (в примере из табл. 7 - влияние тестового результата на вывод об
уровне развития). Значение Q варьирует от -1 до +1. При Q = 0 признаки независимы, Q = 1
свидетельствует о положительной зависимости (всем Х= 1 соответствует У= 1); При Q=~l -
связь отрицательная. В силу того что Q выражает одностороннюю связь, его значения
обычно превышают значения ф (в примере ф = 0,36;
Q = 0,67). В настоящем разделе рассмотрены случаи определения корреляции двух
дихотомических переменных. Когда одна из переменных дихотомическая, а Другая
выражена в шкале интервалов или
отношений (см. Шкалы измерительные), используются коэффициенты корреляции
бисериальные (см. Корреляция бисериальная).
КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ -
комплекс методов статистического исследования взаимозависимости между переменными,
связанными корреляционными отношениями. Корреляционными (лат. correlatio -
соотношение, связь, зависимость) считаются такие отношения между переменными, при
которых выступает преимущественно нелинейная их зависимость, т. е. значению любой
произвольно взятой переменной одного ряда может соответствовать некоторое количество
значений переменной другого ряда, отклоняющихся в ту или иную сторону от среднего.
К. а. выступает в качестве одного из вспомогательных методов решения теоретических
задач психодиагностики и включает в себя комплекс наиболее широко применяемых
статистических процедур при разработке тестовых и других психодиагностических методик,
определения их надежности, валидности. К. а. является одним из основных методов
статистической обработки эмпирического материала в прикладных психодиагностических
исследованиях.
Существующие процедуры К. а. позволяют определить степень значимости связи,
установить меру и направление влияния одного из признаков (X) на результирующий
признак (У) при фиксированном значении отдельных переменных (корреляция частная),
выявить степень и направленность связи результирующего признака (Y) с совокупностью
переменных х,\, л:2, ... , х (корреляция множественная). К. а. подлежат как количе-
ственные, так и качественные признаки (к первым относятся переменные, измеряемые в
интервальной шкале и шкале отно-
КОР
шении, ко вторым - не имеющие единиц измерения, оцениваемые шкалами наиме-
нований и порядковыми шкалами) (см. Шкалы измерительные). Может быть также
установлена корреляция и для признаков, один из которых является качественным, а
другие количественными (корреляция бисериальная, корреляция качественных признаков).
Одним из основных принципов определения количественных критериев корреляционной
связи - коэффициентов корреляции - является сравнение величин отклонений от
среднего значения по каждой группе в сопряженных парах сравниваемых рядов
переменных. Другими словами, определяется частота соответствия между шкалами Х и У.
Предположим, один и тот же испытуемый получил высокие оценки по тесту вербальных
способностей (Х) и показателям успеваемости
по литературе (/i). Тогда произведения отклонений хх и уу принимают высокие
положительные значения. Если же большому д: 1 у другого испытуемого будет
соответствовать малое i/p то это произведение будет отрицательным. Абсолютная
величина произведения отклонений зависит от степени отклонения переменных от
среднего значения в сравниваемых парах.
Если Х и У не имеют систематической связи (большие х сочетаются с малыми у и
наоборот), различные произведения будут принимать положительные или отрицательные
значения. Сумма произведений во всех сравниваемых парах
п
(-1)(г/,-у)
i=l
будет приближаться к нулю. Сумма произведений в сравниваемых рядах перемен-
Таблица9 Вычисление коэффициента корреляции произведения моментов Пирсона (г")
Номер
испытуе
мого
Резуль
тат I
теста
Резуль
тат II
теста
(у. 7)
[х В2

(У1-У)2
(х,-~х)


\Л Л f
\Л Л f
(у,-у)

(у,-у)

1 14
21
-7,3
53,3
-0,1
0,001
0,7
2 30
22
8,7
75,7
0,9
0,8
7,8
3 16
18
-5,3
28,1
-3,1
9,6
16,4
4 18
20
-3,3
10,9
-1,1
1,2
3,6
5 25
24
3,7
13,7
2,9
8,4
10,7
6 17
19
-4,3
18,5
-2,1
4,4
9,0
7 21
23
-0,3
0,1
1,9
3,6
-0,6
8 29
23
7,7
59,3
1,9
3,6
14,6
9 24
22
2,7
7,3
0,9
0,8
2,4
10 19
19
-2,3
5,3
-2,1
4,4
4,8
? 213
211
0
272,2
0
36,8
69,4
J 21,3
21,1
-
-
-
-
-
i(x,-1c)2 l
=5,22,.
i(y,-y)2 f36i.
1 QO .


(n-1) =
10
ч \
1 (п-\) V 10


(х,-х)(у,-у)\ rxs (n-l)c,o,
69,4
10-5,22-1,92
=0,69.
ных будет иметь большую величину по модулю и положительный знак, если X v. Y связаны
между собой выраженной прямой зависимостью, и большую величину и отрицательный
знак при связи Х и У сильной обратной зависимости.
С целью достижения независимости меры корреляционной связи от числа сравниваемых
пар и величин стандартных отклонений в двух группах произведение отклонений делится
на число сравниваемых пар и стандартные отклонения в сопоставимых рядах. Такая мера
носит название коэффициента корреляции - произведения моментов Пирсона:
п
[(-(У,-У)]
= " (п-1)а,а,
где х, и у; - сравниваемые количественные признаки, п - число сравниваемых
наблюдений, Сд и <3у - стандартные отклонения в сопоставимых рядах. Расчетная
формула гу имеет следующий вид:
- ____"S,<,i/, - Ь;, - ?(/,
n-dxn-w
При вычислении коэффициента Пирсона, особенно при большом количестве наблюдений,
целесообразно упрощение за счет различных приемов, сокращающих объем вычислений.
В качестве примера приводим расчет результатов двух тестов в группе из 10
обследованных (табл. 9).
Определение статистической зависимости коэффициента г проводится с помощью
критерия Стьюдента (t):
где п - число степеней свободы (п = п -- 2). По таблице распределения Стьюдента для п
= 8 находим ( = 2,896 при а = 0,02 и ( = 2,306 при а = 0,05. Отсюда статистическая
значимость установленного значения корреляции признаков на уровне а > 0,02.
При возведении коэффициента корреляции Пирсона в квадрат получаем коэффициент
детерминации г2 , выражающий степень вариации переменных. В нашем примере г2 =
0,48, что свидетельствует о том, что 48% измерений признаков объясняются их
совместным распределением (взаимовлиянием).
КОРРЕЛЯЦИЯ БИСЕРИАЛЬНАЯ
(лат. bis series - два ряда, две серии) - метод корреляционного анализа отношения
переменных, одна из которых измерена в дихотомической шкале наименований, а другая
- в интервальной шкале отношений или порядковой шкале. Название метода связано с
тем, что сравниваются две альтернативные серии объектов X, имеющие условные
значения 0 или 1 по У.
Наиболее характерно применение коэффициентов К. б. в психологической диагностике при
анализе дискримина-тивности заданий теста, а также при определении валидности
критериальной путем коррелирования значений тестовых оценок с независимыми характе-
ристиками критерия, выраженными в дихотомической шкале (см. Шкалы измерительные).
Для описания связи между перечисленными видами переменных используется точечный
бисериальный коэффициент корреляции Пирсона:


где х, - среднее по Х объектов со значением единицы по У; XQ - среднее по Х
КОР

объектов со значением нуль по У: S - стандартное отклонение всех значений по X; га; -
число объектов, с единицей по У:
пу- число объектов с нулем по У, т. е. п = П) + n.Q. Уравнение для вычисления rpi,
представляет собой алгебраическое упрощение формулы коэффициента г (см.
Корреляционный анализ) для случая, когда У- дихотомическая переменная. Можно
привести ряд других эквивалентных выражений, удобных для практического применения:
ръ-
где х - общее среднее по X.
Значение г.д варьирует от -1 до +1. В том случае, когда переменные с единицей по У
имеют среднее по X, равное среднему переменных с нулем по У, г- обращается в нуль.
В качестве примера можно привести вычисление г при анализе дискримина-тивности
отдельных пунктов опросника личностного, т. е. корреляции между типичным ответом на
отдельный пункт (утверждение-отрицание) с общим результатом по тесту (табл. 10).
Вычисленное таким образом значение гt, показывает, что проверяемый пункт опросника
имеет среднюю диагностическую значимость и слабо коррелирует с общим результатом
теста.
Достоверность (а) связи, рассчитанной с помощью коэффициента г", может определяться
с помощью критерия У? для числа степеней свободы df = 2.
Другим распространенным методом расчета является определение бисериаль-ного
коэффициента корреляции (г;,;,), который применяется в тех случаях, когда
есть основания полагать, что дихотомическое распределение близко к нормальному:
.-0 "Л)

Элементы уравнения идентичны используемым при вычислении Гр;,, за исключением
величины U - ординаты
Таблица 10
Вычисление точечного бисериального коэффициента корреляции Пирсона






g. a
S



|
1|
" ё.
30


с
о-
р
11
й:Й

Вычисление
1 6
g< I
1||



S
с е з
Д,3-
о


1 1 16 ni=ll
2 0 12 лд=7
3 0 11 п=18
41 7 Л, = 12,36
51 15 XQ - 10,00
6 1 14 5,=2,55



z-l
7 0 10
с -1



л-1 /
8011

9 1 15 (7=0,3836

~Х\ - о / "1"о

10
р S, \fn-l)n 12,36-10 Гп
2,55 V 306
=0,46
11
1
13
12
0
7
13

13
14
1
11
15
0
10
16
1
11
17

10
18
1
11

Примечание: 1 - совпадение с "ключом>: 0 - несовпадение с <ключом>.
КОР
нормированного нормального распределения в точке, за которой лежит
- 100% площади под кривой (см. Нор-п
мальное распределение). Из данных
табл. 9 --=-=0,61; ордината нормиро-п 1о
ванного (единичного) нормального распределения (U), за которой лежит 61% площади под
кривой, равна 0,3836.
В отличие от других коэффициентов корреляции, /";," может принимать значения ниже -1 и
выше +1. В случае попадания значения в эти области делается вывод о некорректности
предположения о нормальном законе распределения Х или о распределении значений Х в
выборке с эксцессом значительно ниже нормального. Следует обратить внимание на то
обстоятельство, что при распределении переменных Х с эксцессом больше нормального
границы /"у, будут соответственно меньше пределов -1 и +1, что приведет к переоценке
степени связи. Это требует тщательной проверки свойств распределения при
использовании бисериального коэффициента корреляции.
При вычислении г и Гд" оперируют одинаковыми исходными данными, однако эти
коэффициенты не тождественны. Коэффициент Гр,, более строг при характеристике
степени связи между Х и У (bis> rpь Случаи, когда одна из переменных представлена в
дихотомической шкале, а другая - в порядковой, требуют применения коэффициента
рангово-бисе-риальной корреляции
=2-,
где Y, - средний ранг объектов, имеющих 1 по X; Уд - средний ранг объектов с 0 по X.
Пример вычислений приведен в табл. 11. Коэффициент г тесно связан с коэффициентом т
Кендалла. Особенно четко эта связь прослеживается при ана-
Таблица It Вычисление
рангово-бисериальной корреляции г д при сопоставлении результатов теста удевочек(1) и
мальчиков(О)


S я


\
g


X




1|
ё S
Вычисление
t-
Ё-


ад
Е;
а
Ё S-


S
sl
я
й>.
п.
S

1 0 1 =7,5; п=10
2 1 10 =4,2
30 2
2(7,5-4,2)

Ггь- 0,67
4 1 9
50 5
60 8
7 1 4
8 1 7
90 3
10 0 6

лизе корреляционной связи с помощью близкого к г коэффициента г" в случае
использования для его определения понятия совпадения и инверсии (см. Корреляция
ранговая):
г =p.-
рь П(,>1
где n.Q - число объектов с нулевой дихотомией; л; - число объектов с единичной
дихотомией; Р- сумма совпадений; Q - сумма инверсий.
При оценке значимости связи можно использовать критерий Стьюдента:
t=r


=2,5.
=0,67;
При количестве степеней свободы п = п - 2 = 8 tp = 2,306, при а = 0,05;
( > tp, следовательно, при а < 0,05 выявленная связь является статистически значимой.

КОР
КОРРЕЛЯЦИЯ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ - метод анализа связи переменных,
измеряемых в порядковых шкалах и шкалах наименований (см. Шкалы измерительные).
Наиболее часто такой корреляционный анализ проводят с помощью коэффициентов
корреляции ранговой, используемых в случаях, когда обе переменные измеряются в шка-
лах порядка или легко могут быть преобразованы в ранги. При измерении сравниваемых
переменных в шкалах наименований широко применяются коэффициенты сопряженности,
в которых в качестве промежуточной расчетной величины используется критерий согласия
Пирсона (см. Критерий X2). Наиболее часто в таких расчетах пользуются коэффициентом
сопряженности Пирсона:


Значение Р всегда положительно и измеряется от нуля до единицы. Особенностью
коэффициента сопряженности Пирсона является то, что максимальное его значение
всегда меньше +1 и в значительной степени зависит от количества наблюдений (размера
таблицы).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77