§4. ЗАДАЧА О СТАНКАХ
Представим себе три станка, каждый из которых может про-
изводить два типа деталей. Назовем их условно деталями А и Б.
Производительность каждого из станков по разным типам дета-
лей, как правило, различна:
станок 1 производит в одну минуту 5 деталей А или 5 деталей Б;
станок 2 производит в одну минуту 6 деталей А или 2 детали Б;
станок 3 производит в одну минуту 5 деталей А или 3 детали Б.
Задача осложняется тем, что требуется выполнить два
важных условия, или, как говорят в математике, учесть два
ограничения: 1) ни один из станков не должен простаивать; 2)
продукция должна быть комплектна, т. е. количество произведенных
деталей А должно равняться количеству деталей Б (это, например,
могут быть гайки и болты).
Несмотря на кажущуюся простоту задачи, ни одним из
традиционных методов она не решается. Убедимся в этом на
примере (в котором не рассматриваются некоторые
несущественные подробности).
Возьмем вариант, при котором в течение рабочего времени
станок 1 производит деталь А. Станки 2 и 3 также загрузим на все
время работы, но деталями Б. (Все расчеты будем производить,
исходя из общей продолжительности времени работы в 6 часов =
360 минут.)
Результат такого решения изобразим следующим образом
(табл. 1): слева от вертикальной черты покажем время загрузки
станков по различным деталям, а справа — соответствующее
количество произведенной продукции (произведение времени
работы на минутную производительность).

Такое решение вроде бы отвечает поставленным условиям:
во-первых, все станки полностью загружены в течение рабочего
времени; во-вторых, количество произведенных деталей А равно
количеству деталей Б. Остается, однако, открытым главный вопрос
планирования: является ли наше решение наилучшим в данных
условиях? Нельзя ли составить другой план распределения
станков, который отличался бы наибольшей производительностью?
Суть метода удобнее всего выразить с помощью наглядного
геометрического представления, графика, изображенного на рис. 5.
Здесь показан построенный по правилам науки пятиугольник
OABCD (заштрихован). Многоугольник соответствует условиям
нашей задачи и представляет собой область допустимых планов
распределения времени работы станков 2 и 3 над деталью А. (В
своих расчетах мы вполне можем обойтись двумя станками и одной
деталью, так как по этим данным нетрудно рассчитать и все
остальные.) По соответствующим осям графика отмечена продол-
жительность работы этих станков.
Любая точка заштрихованной области допустимых планов,
как видно из ее названия, даст нам какой-либо один возможный
план, отвечающий обоим принятым условиям-ограничениям. Так,
например, точка О соответствует нашему первоначальному расчету:
время работы над деталью А на станках 2 и 3 равно нулю.
Посмотрим, какой план распределения станков дает другие
точки области. Вот, скажем, точка В. Как видно из графика, этой
точке соответствует время работы над деталью А станка 2, равное 90
мин, станка 3 — 360 мин. По этим данным нетрудно составить
второй план распределения станков, причем время, отводимое на

производство детали Б станками 2 и 3, получится как дополнение до
360 мин времени, снятого с графика, - станки не должны про-
стаивать. Что касается станка 1, то его время работы подбирается
таким, чтобы общее количество деталей А и Б совпадало.

Вот так результат! Мы сразу же, можно сказать бесплатно, на
том же оборудовании увеличили производительность на 1080
деталей, т.е. на целых 30%.
Однако возникает законный вопрос — добились ли мы уже
самого лучшего, оптимального решения, или нет? Стоит ли дальше
пытаться улучшить план?
Наука убедительно доказывает, что оптимальному решению
соответствует одна из вершин пятиугольника допустимых планов, а
именно та, для которой общая производительность окажется мак-
симальной. В нашем случае это вершина С.
Действительно, рассчитывая известным уже нам путем план
распределения станков для этой точки, получим следующее
решение (табл. 3).
Таблица 3
Мы получили план почти наполовину (на 45%) лучше, чем
первый. И этот существенный прирост, подобно и предыдущему
улучшению, ничего (если не считать умственных усилий на
планирование) не стоит. Никакого дополнительного расхода каких-
либо ресурсов не потребовалось. Те же станки, те же детали, те же
станочники работают то же время. Не меняются и производитель-
ности станков. Эффект здесь чисто интеллектуальный, умственный —
за счет рационального распределения ресурсов оборудования
(кстати, латинское слово "рационалис" означает разумный). Умное,
обоснованное решение сделало чудо, в которое даже трудно
поверить. Подобный "чудесный" результат, как мы уже понимаем,
характерен для всех решений, принимаемых с помощью научных
методов.

Может возникнуть, правда, вопрос: а нельзя ли обойтись в
подобных задачах без какого-либо специального математического
аппарата, идя путем простого перебора всех возможных вариантов
решения? Этот соблазн следует тут же отмести. Расчет показывает,
что перебор всех возможных вариантов решений подобных задач
не под силу даже самому большому коллективу вычислителей.
Уместно отметить еще несколько интересных моментов,
связанных с решением данной задачи. Полученный нами
оптимальный план—это не просто правильный, допустимый план
распределения оборудования, по которому можно работать (такими
были и оба предыдущих: они обеспечивали как полную загрузку
оборудования, так и комплектность продукции). Оптимальный план,
помимо того, что он отвечает этим требованиям, должен быть еще
обязательно самым эффективным. В данном случае это означает
требование максимума деталей. Действительно, как уже от-
мечалось, оптимизация обязательно должна предусматривать
обращение одного из показателей в максимум (или минимум). Но
только одного показателя. Нельзя вести оптимизацию по не-
скольким показателям одновременно.
И еще один важный вывод, к которому подводит станковая
задача: оптимизация возможна лишь по верхнему уровню
управления для всей производственной системы в целом. В данном
случае это означает, что мы получили оптимальный план лишь для
всех трех станков вместе. А для каждого в отдельности? Тут
оптимальности может и не быть. Так, в нашей задаче оптималь-
ный план явно не понравится станочнику, работающему на станке
3: при большей производительности — 5 деталей в минуту — план
предлагает ему работать всего 90 мин, а при меньшей — 3 детали в
минуту — целых 270. Но тут уж ничего не поделаешь: чтобы
получить оптимальный, сбалансированный план предприятия,
кому-то на нижнем уровне приходится работать в неоптимальном
режиме. Но значительно дешевле компенсировать издержки
'внизу", чем лишиться огромного эффекта оптимизации работы
Целого предприятия.
Методы, подобные рассмотренному, находят широкое -
рименение для обоснования оптимальных решений в самых

различных областях человеческой деятельности: при планировании
перевозок и в торговле, для правильной организации труда, в
управлении транспортом и строительством.
§5. АВТОМОБИЛИ ИЗ ОТХОДОВ
Изготовление многих видов современной промышленной
продукции начинается с раскроя материала. Выкраивают не только
одежду и обувь, но и детали корпуса корабля, кузова автомобиля,
фюзеляжа самолета. Раскраивают ткани и кожу, бумагу и стекло,
металл и пластмассу. Но кроить можно по-разному.
Перед нами листы дефицитного материала размером 6 х 13 м
(рис. 6). Из каждого такого листа необходимо выкроить по не-
сколько заготовок двух видов: заготовки А — размером 5 х 4 м и
заготовки Б размером 2 х 3 м. Задача заключается в том, чтобы
получить как можно больше заготовок обоих видов с наименьшим
количеством отходов. Кроме того, как и в задаче со станками,
необходимо обеспечить комплектность заготовок: на одну заготовку А
должно приходиться пять заготовок Б.

трех, двух и одной заготовки А и возможно наибольшего количества
заготовок Б с листа. Каждому способу дадим номер:
способ № 1: три заготовки А и одна заготовка Б;
способ № 2: две заготовки А и шесть заготовок Б;
способ № 3: одна заготовка А и девять заготовок Б.
Заметим, что при всех этих способах раскроя часть площади
листа остается неиспользованной и идет в отходы. На рис. 7 эта
площадь заштрихована.

Как вести раскрой? Какое решение принять? Прежде всего
нужно установить все возможные способы раскроя наших листов
по требуемым заготовкам. Начнем с того, что постараемся получить
с одного листа как можно больше заготовок А — они крупнее, чем Б,
и для них труднее подыскать место на листе. Оказывается, однако,
что более трех заготовок А с листа выкроить невозможно. Исходя из
этого, предусмотрим способы раскроя для получения

Рис. 7. Способы раскроя материала
Для составления оптимального плана раскроя материала
построим график/подобный тому, который мы рисовали в задаче со
станками (рис. 8). По оси X отложено количество заготовок А, а по
оси Y — число заготовок Б. При этом каждому способу раскроя
соответствует своя точка на графике. Так, точка "способ № 2" стоит на
пересечении двух заготовок А и шести заготовок Б. Точки —
способы раскроя — указывают границы области допустимых
планов.
Для того чтобы обеспечить комплектность заготовок, необ-
ходимо ограничиваться лишь теми точками области допустимых
планов, которые лежат на луче ОЛ. Он построен таким образом,
что все его точки соответствуют требуемому отношению заготовок
А и Б:

Рис. 8. График раскроя материала
Какой же план раскроя наиболее рационален?
Очевидно, тот, которому соответствует точка, наиболее от-
даленная от начала координат, — ведь при этом число заготовок
будет наибольшим. Этот план дает точка, лежащая на пересечении
луча ОЛ с границей области допустимых планов — линией, соеди-
няющей способы № 2 и 3. Она находится как раз посередине между
упомянутыми способами. Итак, оптимальный план раскроя за-
ключается в том, что половина листов кроится способом № 2, а
половина — способом № 3.
Проверим теперь наш оптимальный план на партии в 200
листов. Половину — 100 листов — раскроим по способу № 2 и
получим 100 х 2 = 200 заготовок А и 100 х 6 = 600 заготовок Б;
вторую половину листов раскроим по способу № 3. Получим 100 х 1 =
100 заготовок А и 100 х 9 = 900 заготовок Б. Всего же получи-

лось 300 заготовок А и 1500 заготовок Б — комплектность 1 к 5
соблюдена. А чем этот план лучше других? На этот вопрос ответят
следующие любопытные цифры.
Предположим, что тот, кто ведет раскрой, не знает совре-
менных методов обоснования решений и действует без расчета, на
глазок. Не исключено, что он станет раскраивать наши 200 листов
способами № 1 и 3. Для того чтобы иметь возможность сравнивать
глазомерный план с оптимальным, примем, что способом № 1 рас-
краивалось 50, а способом № 3 — 150 листов. Вот что при этом
получается:
50 листов, раскроенных по способу № 1, дают
50 х 3 = 150 заготовок А и 50 х 1 = 50 заготовок Б;
150 листов, раскроенных по способу № 3, дают
150 х 1 = 150 заготовок А и 150 х 9 = 1350 заготовок Б.
Всего получается 300 заготовок А и 1400 заготовок Б.
А куда же исчезло 100 заготовок Б? Ведь при оптимальном
раскрое их было 1500. Их "съел" плохой план. Все они ушли в от-
ходы. Дефицитный материал остался неиспользованным.
Таким образом, рациональный раскрой даже в такой скром-
ной задаче, как наша, — разрезается всего 200 листов — экономит
600 кв. м дефицитного материала:
100 заготовок Бх2мхЗм = 600 кв. м.
§6.РАСПИСАНИЯ И ПЛАНЫ
Задача директора
Простейшее решение по составлению расписаний имеет так
называемая задача директора. Сущность этой задачи заключается в
следующем.
На прием к директору записалось несколько посетителей.
Секретарь директора составил список в алфавитном порядке, ука--
«-ш для каждого требующуюся ему ориентировочную продолжи-
тельность приема. Фамилии записавшихся обозначены в списке их
^.главными буквами (табл. 4).

различными деталями. Продолжительность обработки при этом
бывает различной, и нужно составить расписание таким образом,
чтобы суммарное время обработки оказалось наименьшим.
Таблица 5



На весь прием директор, как видно из таблицы, отвел 2 ч =
120 мин, поэтому пришлось ограничиваться всего шестью посетите-
лями. Является ли составленное расписание наилучшим?
С точки зрения общей продолжительности приема любая
очередность посетителей равнозначна: суммарное время приема
не меняется при любой его последовательности. А с точки зрения
ожидания в очереди? Подсчитаем общее время ожидания как сумму
времени ожидания всех посетителей. В нашем алфавитном списке оно
составляет 260 мин = 4 ч 20 мин. Понятно, что это время
желательно было бы уменьшить: ведь время ожидания — зря по-
траченное время. Но вот можно ли это сделать? Приведет ли рас-
писание с другой последовательностью приема к экономии общего
времени ожидания при сохранении намеченного суммарного
времени приема?
Оказывается, получение такого расписания возможно. В
одном из методов научного менеджмента — так называемой теории
расписаний — доказывается, что наименьшее суммарное время
ожидания получается при составлении расписания в порядке
нарастания продолжительности приема. Составим такое расписание
(табл. 5).
Полученное оптимальное расписание позволяет уменьшить
суммарное время ожидания на 1 ч 10 мин. Это дает существенный,
временной, а значит, и экономический эффект.
Задача директора находит применение не только в приемной
руководителя. Ведь таким же образом можно составить и расписание
очередности работы станка или другого оборудования над

Задачу директора иногда называют также задачей одного
станка.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30