Тоже получили показатель Харста больше, чем одна вторая. То ес
ть это такая система, которая характеризуется нелинейными свойствами.

В.Н. Я хотел сказать, что есть эффект, который родственен эффек
ту Харста и дополняет его. Это так называемый степенной закон распределе
ния вероятностей. Что это за закон? Вероятности катастрофических наводн
ений, в которых гибнут люди, убывает с ростом числа жертв этих наводнений,
не экспоненциально, а по степенному закону, то есть очень медленно. Говор
я другим языком, можно сказать, что вероятности этих наводнений гораздо
выше, чем принято считать. Возникает тогда вопрос: как рассчитывать веро
ятности таких наводнений, как описать физический механизм, который прив
одит к степенному закону затухания распределения вероятностей, и как по
строить удобную аналитическую функцию, чтобы можно было бы на основе это
й придуманной нами функции правильно подсчитать вероятность этих ката
строфических наводнений? Или, по крайней мере, согласовать их с известны
ми данными по степенной статистике, которая широко применяется в америк
анских работах. Но там ничего не говорится о механизме.
Так вот, почему это важно? Важно потому, что в 20-е годы в Нидерландах правит
ельственный комитет по защите от наводнений принял максимальный урове
нь воды 390 сантиметров. На этот уровень предполагалось рассчитывать защи
тные сооружения.
А.Г. Это от уровня моря?
В.Н. Нет, на уровне внезапного подъёма воды.
А.Г. Ну, 390 от уровня моря.
В.Н. Такой уровень возможен раз в 10 тысяч лет. Гидротехники не ст
али ориентироваться на столь редкое событие, взяли отметку 340 сантиметро
в. Стремление удешевить строительство привело к трагедии голландского
урагана, вызвало большие разрушения и самое большое несчастье Ц погибл
о около 2000 человек.
Таким образом, правильное определение вероятности этих катастроф нам о
чень важно. Так вот, мы посмотрели на эту задачу и построили простую модел
ь, заключающуюся в расчёте стока, в который входят осадки, испарения, сток
и влагозапасы бассейна. Такая модель описывается стохастическим диффе
ренциальным уравнением. Мы написали уравнение Фоккера-Планка-Колмогор
ова для этой системы и получили достаточно простое распределение Ц со с
тепенным затуханием функции распределения вероятности при больших вел
ичинах этого стока. А поскольку можно предполагать, что масштабы этого б
едствия функционально связаны с расходом воды и уровнем воды, мы стали и
спользовать эту функцию для расчёта катастрофических наводнений на ра
зных реках. Мы начали с Невы. Потому что для неё посчитаны детальные гидро
динамические модели, и можно было сравнить эту теорию с гидродинамическ
ими теориями наводнений.
И.К. Мы взяли эту плотность степенного распределения, в просте
йшем случае она зависит от одного параметра «бета» и обладает следующим
и свойствами. Во-первых, плотность степенного распределения степенным о
бразом затухает, когда её аргумент стремится к нулю, и тем медленнее, чем м
еньше параметр «бета». И, кроме того, если «бета» больше, то она достаточно
быстро убывает. И, во-вторых, моменты порядка «целая часть параметра „бет
а“ обращаются в бесконечность для этого степенного распределения. Таки
м образом, если у нас „бета“ приняло значение между двумя и тремя, то „цела
я часть параметра бета“ равно двум и степенное распределение не имеет ди
сперсии. То есть дисперсия обращается в бесконечность. Таким образом, со
ответствующий случайный процесс должен совершать гигантские выбросы,
чтобы набрать такую дисперсию. Действительно, существует такая северна
я горная река Тура, которая протекает в Эвенкийском Национальном округе
, в горах, между реками Енисеем и Леной, и для неё оценка параметра „бета“ р
авна 2,63. То есть там имеют место гигантские выбросы.
Вообще говоря, применение степенного распределения в корне меняет въев
шееся в плоть и кровь представление о надёжности и риске. Вот мы рассмотр
ели максимальные уровни для реки Невы. И для того, чтобы исследовать повт
оряемость наводнений, мы рассмотрели наше степенное распределение и пр
инятое в гидрологии гамма-распределение. Вот крупнейшее наводнение на р
еке Неве произошло в Петербурге. Его описал Пушкин в поэме «Медный всадн
ик». Он писал, что «вода и больше ничего» Ц настолько залило Петербург. Ур
овень воды реки Невы 19 ноября 1824-го года достиг 421 сантиметра. Если использо
вать гамма-распределение, то такое наводнение повторяется один раз в 22 ты
сячи лет. То есть оно является чрезвычайно редким и совершенно невероятн
ым.
А если использовать степенное распределение и рассчитать повторяемост
ь, то оно происходит один раз в 667 лет и является, в общем, вполне реальным.
Следующее крупное наводнение произошло 23 сентября 1924-го года. Уровень в ре
ке Неве был 380 сантиметров. С точки зрения гамма-распределения такое наво
днение повторяется раз в 2700 лет. А с точки зрения степенного распределени
я, оно повторяется один раз в 2,5 века и является вполне реальным событием. П
олучив это, мы сравнили нашу модель с гидродинамическими моделями, котор
ые были разработаны в Петербурге. И вот в таблице видно, что наша модель и
гидродинамические модели очень хорошо соответствуют друг другу. А плот
ности степенного распределения и гамма-распределения хорошо совпадаю
т в средней части и очень сильно различаются в области катастрофических
наводнений. Именно этим и объясняется разница в такой повторяемости.
В.Н. Я хотел бы здесь добавить, что гидродинамические модели, к
оторые использовались для расчёта и описания наводнений, неявно, Ц и яв
но, конечно, Ц учитывали нелинейный характер воды движения в Финском за
ливе. Именно они и дали такой правильный результат Ц с нашей точки зрени
я.
Мы рассчитывали натурные данные конечно не только для Невы, но и для друг
их рек. Например, Янцзы. Хорошо известно, что там в 1931-м году произошло крупн
ейшее наводнение, унёсшее 1,3 миллиона жизней. Что оказалось здесь? Мы расс
читывали наводнение 54-го года, по 31-му году у нас не было данных. Оказалось,
везде наблюдается одна и та же картина: невероятное, с точки зрения обычн
ых формул гидрологии, оказывается вероятным с точки зрения степенного з
акона. То есть, нужен пересмотр всех этих явлений с точки зрения правильн
ого описания статистики редких событий.
Исследовали такую реку Ц Западная Двина. То же самое. В Витебске в 31-м году
было крупнейшее наводнение. Обычные формулы дают Ц невероятно. Наша фо
рмула даёт раз в шесть большую вероятность. Через три года это наводнени
е повторяется. И в Миссури мы анализировали максимальный расход воды, по
том исследовались высокие уровни воды в Амуре. Потом исследовали (правда
, тут маловато данных, но, тем не менее, из-за любопытства), например, наводн
ение на Северном Кавказе прошлым летом, наводнение в Чехии и Германии Ц
исследовались июльские и августовские расходы воды в Эльбе.
Везде наблюдалась та же картина. Вероятность наводнений, вычисленных на
основе такого вот экспоненциального семейства, в 6, 7 (и даже больше, если ос
обо выдающиеся наводнения) больше вероятности по гамма-распределению.

Ещё тут важен и такой момент. Каковы результаты степенной статистики? Ир
ина Аркадьевна уже говорила, что ущерб может приобретать неограниченну
ю дисперсию. Более того, иногда может и математическое ожидание не иметь
конечного результата. То есть, возникает вопрос, не могут же на планете су
ществовать бесконечные силы наводнения?
А.Г. Всемирный потоп.
В.Н. Да, да, вроде того. Надо предложить какую-то конструктивную
гипотезу. Мы выполнили анализ того стохастического дифференциального
уравнения, о котором я говорил, и оказалось, что этот степенной закон, кото
рый возникает за счёт нелинейной связи между стоком и влагозапасом, и ха
рактеризующийся сильной нелинейной связью, с ослабеванием этой связи н
ачинает постепенно сходить на нет. И в области больших значений исследуе
мой величины вырождается в гауссовский закон, то есть экспоненциальный.
Но в достаточно широкой области он справедлив. А поскольку сейчас мы жив
ём в такую климатическую эпоху, что увлажнённость суши ещё не так велика (
примерно 20-40 сантиметров в десятиметровом слое воды Ц это достаточно ма
ло), то такие гигантские наводнения происходили в прошлом, случаются в на
стоящем, и ещё будут случаться в будущем. Потому что ограничения на расхо
д воды, на увлажнённость речных бассейнов ещё далеко не достигнуты.
А.Г. Предела ещё они не достигли?
В.Н. Да, поэтому можно показать, и показано, и даже опубликованы
математические работы, которые показывают ограничение этого степенног
о закона. С точки зрения математической физики можно сказать, что этот ст
епенной закон представляет собой промежуточную асимптотику, характерн
ую для многих задачи физики.
Но что касается эффекта Харста, который мы рассмотрели с разных позиций,
то в некоторых работах эта расходимость спектральной плотности, медлен
ное затухание корреляции объясняется следующим эффектом Ц возникнове
нием хаоса в динамических системах. Есть такие работы. Но для того чтобы н
ам как-то использовать такие работы, мы, изучая природные явления, должны
предложить свою теорию динамического хаоса природных явлений. Потому ч
то свойства этого хаоса ещё далеко не изучены и не известны, поэтому и иду
т такие дебаты по проблемам климата. Мы решили рассмотреть задачу, в кото
рой воды суши участвуют очень активным образом. Какая это задача? Мы напи
сали уравнение теплового баланса земли, то есть Солнце нагревает Землю,
часть тепла поглощается, часть излучается, часть уходит в космическое пр
остранство. Написали уравнение водного баланса, уравнение динамики реч
ного стока. Написали уравнение баланса диоксида углерода за счёт выделе
ния его с океанов или с суши. Таким образом, мы получили простую нелинейну
ю систему.
Ведь надо учитывать такие важнейшие климатические параметры, как альбе
до Ц функция увлажнённости. То есть альбедо болот, например, в несколько
раз меньше, чем альбедо пустынь. И это хорошо просматривается по спутник
овым данным, по которым у пустыни Сахары очень высокое альбедо. Так вот, ок
азывается, что по мере увлажнения суши тоже возникает положительная обр
атная связь. Увлажнённость растёт, планета сильнее разогревается, океан
ы больше испаряют, больше влаги попадает на сушу, влажность снова растёт.
Но эта положительная связь известна в климатологии. А вторую положитель
ную связь я уже называл при анализе динамики колебаний уровня Каспийско
го моря.
Оказалось очень важным, что эта система может быть сведена к системе нел
инейных осцилляторов, типа Дюффинга или Ван дер Поля, а тепловой режим пл
анеты здесь фигурирует в качестве вынуждающей силы для этих осциллятор
ов. Так вот, оказалось, что решение этих уравнений может иметь сложный неп
редсказуемый характер Ц хаотический характер, как говорят специалист
ы в области нелинейной динамики и других нелинейных задач.
Вот на рисунке это хорошо видно. Здесь рассмотрены две траектории по реа
лизации глобальной температуры приземного слоя атмосферы. Мы видим, что
на каком-то отрезке времени траектории начали расходиться. То есть по су
ществу мы получили при одних и тех же условиях две реализации. Эта сущест
венная зависимость решения от начальных условий говорит нам как раз о ха
осе в этих системах.
Что здесь ещё важно? Мы видим, что возможны резкие колебания. Если в начале
мы видели колебания около 16-ти градусов среднегодовой температуры приз
емного слоя атмосферы, то по мере развития событий получаются колебания
уже от 14-ти до 17-ти градусов. Это очень сильные колебания. Здесь возникает т
акой даже эффект. Мы хорошо знаем эффект десинхронизации генераторов. На
пример, Гюйгенс в письмах к отцу писал, что наблюдал синхронизацию двух ч
асов, повешенных на стене, разделяющей две комнаты. То есть слабая связую
щая сила связывала эти часы, и они шли в унисон. Таким образом, и здесь, возм
ожно, присутствуют эффекты синхронизации. Что это значит? Что если все ма
терики начнут работать на увлажнение, планета начнёт разогреваться. То е
сть будет происходить потепление климата. Если они работают на усушение
, планета начинает охлаждаться. То есть ледниковые эпохи возникают.
Причём у нас получилось, что экспериментальная размерность этого аттра
ктора, вычисленная на основе эксперимента, поставленного климатологам
и Николисами, совпала с нашей размерностью, которую мы вычислили теорети
чески. И что здесь важно? Что климат неразрывно связан с гидрологическим
и процессами на суше. То есть воды суши Ц такой же полноправный участник
климатического спектакля, как океан, атмосфера и криосфера. Это неразрыв
но связанные между собой компоненты. И вот на рисунке показан «странный
аттрактор». Есть такое стационарное состояние этой системы, вернее, его
проекция на плоскость в переменных температуры и зависимость производ
ной температуры от времени. Мы видим, что некоторое время температура на
ходится где-то около 16-ти градусов. Если продолжать дальнейшее развитие,
то температура может понизиться и до 14-ти градусов. Она здесь показана, но
время пребывания системы в этом состоянии оказалось меньше, чем время пр
ебывания в другом состоянии системы.
И здесь хочу подчеркнуть следующее Ц почему здесь эффект Харста справе
длив? Академиком В.В.Козловым показан такой эффект, что у уравнения Дюффи
нга может быть бесконечное число длиннопериодических решений с любым п
ериодом, то есть, низкочастотных решений. Так вот там, где уравнение Дюффи
нга имеет такое поведение, как раз возникают эти долгие периодические ре
шения, медленные процессы.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29