И.К. И как следствие является, что спектральная плотность имее
т интегрируемую особенность при нулевой частоте и отсутствует линейно
сть у модели, описанной фрактальным броуновским движением.
В.Н. Первый вопрос, который возникает: откуда может взяться так
ая медленная релаксация динамической системы? Потому что, если описыват
ь эту модель с помощью линейной математики, то мы такого эффекта не получ
им. Мы получим экспоненциальное затухание корреляции. Вопрос: как придум
ать модель, простейшую хотя бы модель, чтобы в качестве спектральной фун
кции или корреляционной функции мы получили требуемый результат? Ясно, ч
то в чистом виде фрактальное броуновское движение не может быть использ
овано, потому что оно имеет недифференцируемые траектории. А в физическо
й системе, описываемой законами сохранения, везде стоят производные.
Поэтому можно было только описать свойства, которые имеет фрактальное б
роуновское движение, это степенное затухание корреляции, неограниченн
ый спектр при нулевой частоте и некоторая зависимость от частоты. Мы рас
суждали таким образом. Многие гидрологические явления, например, дождев
ой паводок на реке, формируются следующим образом. Выпадают осадки, подн
имается уровень воды, потом он спадает, потом выпадают ещё осадки, потом у
ровень спадает.
То есть этот процесс мы можем приблизить к импульсным случайным процесс
ам, у которых время наступления максимума неизвестно и сама амплитуда не
известна. Но для того чтобы построить такой процесс, мы должны выдвинуть
постулаты по этой модели, описывающие, какой она должна быть. Модель долж
на быть такой. Описываться законом сохранения, то есть импульса баланса
тепла и вещества, допускать ясную математическую интерпретацию и показ
атель Харста (при всём уважении к этому показателю, это всё же не гравитац
ионная постоянная и не скорость света) должен зависеть от физических сво
йств этой системы. Мы построили такой процесс, как для дождевых паводков,
так и для динамики влажности почвы. И получили результаты такого плана. П
ри стохастической аппроксимации выпадения дождей мы предположили, что
здесь нет эффекта Харста, и хотели его получить путём нелинейного преобр
азования выпавших осадков на водосборе. И получили процесс, который хара
ктеризует динамику влажности почвы Ц как модельный процесс. Чтобы на эт
ом процессе увидеть все характерные черты этого явления.
И.К. Мы рассмотрели нелинейную стохастическую модель инфильт
рации воды в почве, демонстрирующую эффект Харста. Была принята простая
стохастическая модель дождей. За большой промежуток времени число выпа
дающих дождей является случайной величиной, распределённой по закону П
уассона с известным параметром, равным среднему числу осадков за сутки.
Затем предположили, что продолжительность времени между дождями сущес
твенно больше продолжительности самого дождя. Тогда слой осадков можно
представить в виде импульсного процесса.
На основании принятой модели мы определили амплитуды импульсного проц
есса из дискретного уравнения для амплитуд, которые являются случайным
и величинами, и функции формы спада, которые определили из нелинейного д
ифференциального уравнения для функции форм спада. Пожалуйста, рисунок
4 по теме 1. Мы получили, что функция формы спада является степенной, медлен
но затухающей функцией времени и детерминированной функцией. А импульс
ы являются случайными величинами, и плотность их показана на рисунке 4-Б.
Причём эта плотность хорошо аппроксимируется степенным распределение
м вероятности.
Так как функция формы спада есть медленно затухающая степенная функция
времени, то отсюда немедленно следует, что корреляционная функция тоже м
едленно затухает на бесконечности. А это означает, что спектральная плот
ность такого процесса хорошо аппроксимируется (в достаточно близкой ок
рестности нуля, для широкого диапазона частот) затухающей степенной фун
кцией частоты. Вот как показано на рисунке 4-В. А сама реализация вот таког
о процесса показана на рисунке 4-А.
Это всё характеризует приращение фрактального броуновского движения.

А.Г. Простите, на рисунке 4-А по оси абсцисс Ц что? Я просто не виж
у.
И.К. На рисунке 4-А по оси абсцисс Ц это время. А по оси ординат Ц
амплитуды импульсного процесса. Это куски, сшитые беспорядочным образо
м, со случайными амплитудами и детерминированными функциями спада. Оказ
алось, что для такого импульсного процесса можно вычислить теоретическ
и. И показатель Харста зависит в данном случае от водно-физических свойс
тв почвы и испарения. Таким образом, одной из возможных причин эффекта Ха
рста является медленное возвращение нелинейной динамической системы к
своему состоянию равновесия.
В.Н. Медленность здесь очень важна, потому что, например, подъё
м уровня на Ниле составляет примерно 4 месяца, а спад Ц целых 8 месяцев, что
говорит о медленной реакции этой системы. И здесь можно добавить следующ
ее, рисунок, о котором вы спросили, это такая причудливая смесь хаотическ
их и детерминированных сигналов. То есть, когда мы находимся на спаде, мы н
аходимся в детерминированной области. А когда происходят выбросы этого
процесса, то есть момент выпадения осадков, тут возникают случайности. А
если говорить о других задачах (не только же природными задачами занимал
ись специалисты в области нелинейных динамических систем), то такие зада
чи, у которых есть подобные регулярные ставки, и характеризуются медленн
ым затуханием корреляционной функции.
Здесь так можно подвести итог этой первой темы нашего обсуждения. Бассей
н Нила огромный Ц 2,8 миллиона квадратных километров. Он представляет соб
ой нестационарную, неравновесную, нелинейную природную систему. Потоки
влаги и тепла с Индийского океана постоянно выводят эту систему из равно
весия. За счёт процессов диссипации и второго закона термодинамики, зако
на возрастания энтропии, система всё время стремится к своему состоянию
равновесия. Но эта релаксация происходит довольно медленно. Вот эту особ
енность, на наш взгляд, функционирования бассейна Нила и подметил британ
ский климатолог Харст. Но хочу подчеркнуть, что это не единственный медл
енный процесс, который может определить этот эффект.
Таких процессов может быть много. В частности, мы рассматривали медленны
й процесс Ц это инфильтрация, движение воды в почвы или по поверхности б
ассейна. Если не очень толстый слой воды, то всё это медленные процессы.
Но есть такие важные процессы как испарения. Они очень медленные. Если, на
пример, на Каспийском море в год испаряется один метр слоя воды, то, наприм
ер, в наших климатических условиях Ц полметра в год. Так вот эти процессы
исключительно важны для возникновения эффекта Харста, который был нами
обнаружен и в колебаниях уровня Каспийского моря.
Почему Каспийское море? Почему важен механизм колебания этого моря? Пото
му что на основе многих лет изучения оно демонстрировало уникальный хар
актер своего поведения. Например, Марио Сануто ещё в XII веке писал: «Море по
днимается каждый год на ладонь и многие хорошие города уничтожены». Изме
нение физико-географических условий вследствие подъёма уровня Каспий
ского моря привело к гибели Хазарского каганата и исчезновению хазар, та
к как экономика страны не выдержала потери двух третей его территории. Г
умилёв так драматически описывает гибель хазар: «И удар русов, гузов и пе
ченегов так покончил с самостоятельностью полузатопленной страны».
На пойтингеровской таблице (есть такая римская дорожная карта населённ
ого мира, она датируется пятым веком нашей эры) уровень Каспия показан на
20 метров выше современного. И современные данные, которые приведены на ри
сунке, показывают характерные резкие изменения уровня Каспийского мор
я. Возник вопрос: как найти механизм для объяснения этого явления? Предпо
ложим, что испарения с поверхности бассейна, которые составляют очень зн
ачительную часть водного баланса и бассейна и моря, немонотонно зависят
от влагозапасов. А как это может быть? В общем, здесь такой механизм возник
ает. Теплоёмкость сухих компонентов грунта Ц единица. Теплоёмкость вод
ы в четыре раза больше. Поэтому при увлажнении бассейн Каспия увеличивае
т свою теплоёмкость, тратятся большие затраты солнечного тепла на нагре
в, испарения уменьшаются, и таким образом мы получаем механизм положител
ьной обратной связи, который обычно дестабилизирует систему. Что будет в
окрестности этого механизма Ц представляет собой расшифровку механи
зма его колебаний.
У нас получилось, что в окрестности неустойчивого уровня существуют ещё
два слабоустойчивых уровня, в результате чего море под воздействием оса
дков эволюционирует из одного состояние к другому. Расстояние между ним
и может быть несколько метров, и в этом состоит квазициклический характе
р его состояния, который и описывают те учёные-путешественники, о которы
х я говорил. Мы такую модель построили статистически.
И.К. Море стояло около ста лет на довольно высокой отметке Ц п
орядка минус двадцати пяти метров (за ноль принят уровень Балтийского мо
ря). Затем оно неожиданно, примерно за 20 лет, перешло к отметке минус 28. Прост
ояло так 40 лет, а потом снова начался неожиданный подъём, который ошеломил
всех.
А.Г. Я помню, что были социальные теории Ц винили большевиков,
которые Волгу перекрыли, и поэтому стоки вод в Каспий уменьшились.
И.К. Нет, была взята малая часть. То есть это не могло так существ
енно изменить состояние.
А.Г. Я понимаю. Теперь оказывается, что не могло.
И.К. Прыжок на два с половиной метра Ц таким образом объяснить
не получится.
Мы описали этот процесс с помощью нелинейной стохастической модели про
цесса колебания уровня Каспийского моря. Наша модель состоит из детерми
нированной части и случайной части. Случайная часть Ц это остаточная по
следовательность нашей модели, она аппроксимируется, мы её грубо аппрок
симировали авторегрессией первого порядка с достаточно высокой коррел
яцией. И именно она обеспечивает переходы. Оценку параметров этой модели
мы провели современными методами математической статистики на основа
нии натурных данных, наблюдений с 1830-го года (ещё со времён Пушкина записыв
ался уровень Каспийского моря) и по наше время.
Характерная особенность решения или реализации является наличие перех
одов от высокого состояния Ц минус 25,46, к низкому Ц минус 28,3, а средним явля
ется минус 26,62. То есть море совершает такие переходы примерно один раз в 200 л
ет. А время перехода гораздо меньше. Это примерно 20, 30, 40 лет. Причём море може
т иногда подняться до какого-то уровня и потом опуститься снова, то есть н
е завершить переход. Вот такая возможная реализация была получена метод
ом математического моделирования.
А.Г. Поэтому «псевдоцикличностью» это и называете, что здесь ц
икл может быть не завершён?
В.Н. Мы называем это квазицикличностью, потому что это случайн
ая величина. Цикл, это как в синусоиде, а это случайная величина, которой н
е может быть приписано одно значение.
А.Г. Но тут сразу возникает вопрос: насколько вы можете экстрап
олировать полученные вами значения и, следовательно, имеет ли ваша теори
я предсказательные функции?
В.Н. Предсказательных функций она, по сути дела, имеет немного.
Она может на такие вопросы ответить: почему возникают такие переходы? И е
сли бы у нас было предположение, что такое возможно, я не думаю, чтобы так л
егко согласились на переброску рек в своё время. Тогда признали, что паде
ние уровня до минус в двадцать девять Ц это навеки, и поэтому решили: «Пер
ебросим реки и будем увеличивать уровень за счёт перебрасываемой воды 100
лет и потом увидим, как получается положительный эффект». Вот если бы был
а такая теория, на мой взгляд, то не так бы легко это проходило Ц переброс
ка рек.
Во-вторых, мы можем, исходя из темы нашей передачи, давать вероятностный п
рогноз. То есть, мы можем вот так сказать: «Сегодня отметка какая? Какова в
ероятность приблизиться к отметке минус 25,6, за сколько лет и какова вероя
тность придти назад в исходное состояние Ц минус 28,3, и сколько лет длится
этот переход?» Вот такова реальность. Потому что вероятность уже не ассо
циируется с незнанием. Это принципиальная особенность нашего мира. И я д
умаю, в ваших предыдущих передачах эта тема уже не раз звучала.
А.Г. Разумеется.
И.К. Наша модель объясняет, почему не сбывались прогнозы, постр
оенные на основе линейных моделей.
Кроме того, аналогичные модели мы построили для других бессточных водоё
мов Ц для Мёртвого моря, для озёр Балхаш, Большое Солёное, Чаны, Чад и так д
алее. И везде мы получили то же самое. И основным общим, характерным свойст
вом всех этих решений является бимодальность гистограмм. Пожалуйста, по
кажите рисунок 3 по теме 2. Все эти гистограммы Ц бимодальные. Сверху Касп
ийское море, потом озеро Чад, потом Мёртвое море.
Теперь, почему не сбывались эти прогнозы? Потому что линейная модель име
ет только один устойчивый уровень состояния. И каждый переход восприним
ает как чрезвычайно редкое событие с очень малой вероятностью. Линейные
модели использовались, конечно, для обоснования переброски северных ре
к. И используются, возможно, и сейчас тоже для каких-то целей.
Кроме того, мы рассчитали показатели Харста для приращения уровня Каспи
йского моря и стока Волги. Сток Волги занимает 80 процентов от стоков всех
рек, впадающих в Каспийское море. Мы получили близкие значения. Затем мы р
ассчитали эти показатели для некоторых объектов бассейна Каспийского
моря Ц температуры воды в Астрахани, в Казани, среднегодовых значений т
емператур.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29