Конечно, это мечта. Я не знаю до сих пор никаких рабо
т, в которых было бы реальное продвижение в этом направлении. Пока это тол
ько очень далекая перспектива.
Но есть более близкие вещи. В математике существует несколько структур,
их «по пальцам» можно перечесть, которые в принципе известны давно, но их
богатство, глубина их внутренних свойств стала понятна совсем недавно и
, в частности, в связи с появлением и усовершенствованием компьютеров. В п
ервую очередь здесь можно упомянуть фракталы. У вас была передача прекра
сная, я ее как раз смотрел, о фракталах, Малинецкий и Курдюмов, по-моему, выс
тупали. Поэтому я позволю себе просто, не углубляясь, попросить показать
рисунки, связанные с фракталами (0А,0В,0С).
Вот такие сложные миры получаются из удивительно «плотной» по информац
ии начальной математической структуры. Квадратичное отображение, когд
а на «комплексной плоскости» следующее число равно предыдущему в квадр
ате плюс константа С, при разных С дает совершенно удивительные «миры». Н
е буду углубляться сейчас в то, как это получается. А вот знаменитые «кард
иоды» Мандельброта, это уже множество значений самого параметра С с опре
деленными свойствами. Опять-таки каждому числу соответствует свой «мир
», и все эти миры как бы сведены в какую-то универсальную геометрическую и
алгебраическую структуру. Причем, во многом вид этой универсальной стру
ктуры, множества Мандельброта, не зависит от самого отображения. То есть
вы можете взять другое отображение и опять получить ту же самую структур
у. Эти структуры «самоподобны». То есть если вы увеличите какой-то участо
к рисунка, вы там увидите как бы новый мир, но он будет во многом подобен ми
ру на больших масштабах.
Физики, собственно говоря, здесь опять делятся на две части. Ортодоксаль
ные физики просто игнорируют существование таких структур. Слишком мно
гое надо менять, большинство не готово к этому. Люди более гибкие пытаютс
я построить фундаментальную фрактальную физику. Не какие-то приложения
, к кластерам звездным или к кристаллам, к береговой линии и так далее, а по
строить действительно фундаментальную фрактальную физику. Но опять-та
ки это только первые попытки, это опять-таки дело будущего.
Существуют и некоторые другие структуры, о которых я надеюсь сказать поп
озже. Теперь же перейду ближе к своим вещам, но перед этим упомяну еще заме
чательные структуры, открытые нашим российским физиком, Ю.И. Кулаковым и
з Новосибирска, учеником И.Е. Тамма. В свое время, уже достаточно давно, он п
редложил получать физические законы из так называемых систем отношени
й. И только из них! То есть вот это и есть вещи, очень близкие к тем, о чем мы го
ворили: к логике, к исчислению высказываний. И одна эта исходная посылка п
озволила ему написать очень красивое и «компактное» уравнение, которое
приводит к совершенно нетривиальной математике и, с другой стороны, дает
, например, обоснование простых линейных законов, которые мы имеем в обще
й физике. Например, закон Ньютона очень элегантно формулируется на языке
«систем отношений», закон Ома и др.
Другой наш физик, Ю.С. Владимиров, подхватил эти идеи и попытался их реализ
овать на уровне элементарных частиц, построить на основе «систем отноше
ний» фундаментальную физику. И продвижения здесь есть, очень большие про
движения. Недавно у него вышла монография «Метафизика». Он не побоялся д
аже использовать такое, совершенно незаслуженно «опошленное», если мож
но так сказать, слово; он имеет на это право. Там действительно очень больш
ие продвижения.
И, наконец, я подхожу к тому, что же все-таки является основой алгебродина
мического подхода: это исключительные алгебры. Давайте перейдем к ним, т
о есть к математическим основаниям моего подхода.
Что такое исключительная алгебра? Наверное, большинство учило комплекс
ные числа: это пара чисел с законами сложения и вычитания обычными, поком
понентными, и с простым законом умножения, который, в общем-то, просто сле
дует из того, что вы добавляете символ «корень из минус 1», так называемую
«мнимую единицу» «I», квадрат которой равен минус единице. Красивейшая в
ещь. Они соответствуют определенной геометрии: геометрии плоскости. Все
знают, что комплексное число можно изобразить на плоскости.
Оказывается, что их немного, таких законов. И если закон умножения компле
ксных чисел соответствует геометрии двумерного мира плоскости, то возн
икает вопрос: а может быть, какая-то числовая система такого же типа соотв
етствует нашему трехмерному пространству. А если говорить о теории отно
сительности, которую мы давно уже «приняли на вооружение», то и 4-мерному
пространству, так называемому пространству Минковского.
Это старая идея. И реализовал ее, открыл алгебру трехмерного пространств
а великий физик Уильям Гамильтон. Известна даже дата, когда он это сделал.
На мосту в Дублине через Королевский канал имеется табличка, где написан
о: «здесь 16 октября 1843 года Уильям Гамильтон открыл свою таблицу умножения
кватернионов». Гамильтон, который предложил самую элегантную из извест
ных трактовку классической механики, который много сделал в оптике, в ча
стности предложил оптико-механическую аналогию, Ц он больше всего в св
оей жизни ценил и дорожил открытием кватернионов. Удивительно. И всю сво
ю оставшуюся жизнь после этого открытия он посвятил разработке этой алг
ебры.
Дайте, пожалуйста, формулу № 2. Здесь, в отличие от комплексных чисел, имеет
ся не две и даже не три, а четыре базисных единицы: одна действительная и т
ройка мнимых единиц, как бы три «I»: «I, J, К». Квадрат каждой из них равен минус
единице, так же как для комплексных чисел. Но, кроме того, и в этом была вся
тонкость, почему эту алгебру не могли открыть раньше, между мнимыми един
ицами имеется весьма специфическое взаимное умножение: каждая пара пер
емноженных мнимых единиц приводит в результате к третьей. Самое забавно
е при этом, что если переставить порядок сомножителей, то результат изме
нит знак. То есть, например «I*J=K», а «J*I» будет равно уже «-K». Эта таблица оказы
вается единственной, исключительной во многих отношениях, и была доказа
на потом теорема, что кроме такой алгебры есть еще только одна подобная в
осьмимерная алгебра, алгебра октав, но и она в некоторых отношениях уже н
е столь красива, как алгебра Гамильтона.
Некоммутативность, то есть зависимость произведения от порядка сомнож
ителей, действительно, по-видимому, лежит в основе этого мира, потому что
она возникает везде: в квантовой механике, например, она является осново
й всего математического аппарата. Природа некоммутативности до сих пор
не ясна. Но, может быть, она связана как раз с существованием таких исключи
тельных алгебр.
Так вот, оказалось, что эта алгебра Гамильтона даже в большей степени «жи
вет» и описывает и как бы «кодирует» наше трехмерное пространство, чем к
омплексные числа Ц двумерное (пространство). Потому что, если вы будете п
оворачивать плоскость, на которой «живут» комплексные числа, закон умно
жения будет меняться, будет оставаться постоянным только «модуль» комп
лексного числа. А если вы будете вращать трехмерное пространство, то зак
он умножения этой алгебры Ц и она единственная такая Ц будет оставатьс
я инвариантным, он будет один и тот же во всех системах отсчета. Математик
и говорят, что группа симметрий, группа автоморфизмов этой алгебры соотв
етствует группе вращений трехмерного пространства.
И поэтому после открытия Гамильтона начался настоящий кватернионный «
бум», который продолжался долгие годы и даже вспыхивает эпизодически до
сих пор. И действительно, эта алгебра удивительно тесно связана со свойс
твами нашего трехмерного пространства. Известно, что даже движение твер
дых тел, движение спутников и тому подобное рассчитывается очень легко и
изящно в кватернионных переменных. До сих пор ничего лучшего невозможно
предложить, это самый элегантный и самый простой математический аппара
т, который позволяет все это рассчитывать.
Но Гамильтона волновало не это. Он хотел понять, как свойства физическог
о Мира могут быть «скрыты» во внутренних свойствах этой алгебры. И более
того: поскольку оказалось, что триплеты перемножать нельзя так красиво,
как величины, содержащие четвертую единицу, у него сразу появилась мысль
: а не связать ли эту четвертую единицу, действительную единицу, с физичес
ким Временем? Это было задолго до теории относительности, задолго до Г. Ми
нковского, который связал геометрически время и координаты в единое 4-ме
рное многообразие.
Конечно, ничего этого у Гамильтона не получилось. И теперь мы хорошо пони
маем, почему: потому что эта алгебра не имеет прямого отношения к преобра
зованиям Лоренца. Для преобразований Лоренца, свойственных нашему миру
и основных в теории относительности, эта алгебра чуждая. И это было одной
из причин, почему со временем наступило разочарование в идеях Гамильтон
а и его последователей.
Где же нашелся выход? Выход нашелся в том, чтобы эту алгебру «удвоить», то
есть каждую из ее компонент считать комплексной. Тогда мы естественно пе
реходим к алгебре, содержащей преобразования Лоренца в качестве симмет
рии; но удивительным образом она оказывается тогда 8-мерной. И только в ка
ком-то определенном подпространстве этого 8-мерного пространства, оказ
ывается, действует геометрия нашего мира. Есть другие «срезы» и другие о
твечающие им геометрии. Куда девать эти лишние измерения? Это очень долг
о было загадкой. И для меня, когда я начинал, это было загадкой. Сейчас я зна
ю примерный ответ на этот вопрос: они нужны; они нужны для того, чтобы в это
м мире могли существовать нетривиальные физические поля и частицы-особ
енности Ц об этом позже.
Давайте поговорим теперь о том, что же такое сам по себе алгебродинамиче
ский подход? С чего он начался?
В теории функций комплексного переменного есть т.н. условия дифференцир
уемости, которые называются уравнениями Коши-Римана. Обычно их проходил
и раньше в университете в курсе теории функций комплексного переменног
о. Эти «условия аналитичности» представляют собой очень простые линейн
ые дифференциальные уравнения.
Много попыток предпринималось для того, чтобы обобщить эти условия, эти
уравнения, на алгебры больших размерностей, в частности, на алгебры типа
кватернионов. Но необычное свойство некоммутативности этих алгебр при
водило к тому, что все эти попытки оказывались или просто неудачными, или
они полностью воспроизводили то, что мы знали из комплексного анализа, н
ичего нового не добавляя.
Я же попробовал учесть эту некоммутативность с самого начала, то есть оп
ределить свойства аналитичности функций в этих алгебрах так, чтобы в это
м определении свойство некоммутативности фигурировало с самого начала
. Я не буду забивать головы слушателей формулами, просто покажу одну форм
улу (покажите, пожалуйста, формулу № 1) для общего понимания «плотности инф
ормации», которая здесь имеет место. В этой формуле всего 4 значка, это усл
овия дифференцируемости функций бикватернионного переменного Ц все о
тображения, все функции, которые удовлетворяют этому соотношению, мы рас
сматриваем как физические поля.
Для того чтобы найти конкретно физические поля, для того чтобы описать и
х особенности, нам нужно просто решить эти математические уравнения. Мы
можем вообще при этой процедуре ничего не говорить ни о полях, ни о частиц
ах, ни о пространстве-времени; мы можем просто говорить об отображениях, о
б особых точках этих изображений, то есть о чисто абстрактных математиче
ских понятиях. И только на самом дальнем этапе, когда у нас уже вырисовыва
ется математическая картина, мы можем с достаточной уверенностью сказа
ть, что это вот надо интерпретировать как поля, это как частицы, это как вз
аимодействие (а это как «световые потоки», о которых я попозже хочу погов
орить).
Вот и сравните теперь плотность информации, когда физическая теория стр
оится на основании одной такой формулы, с плотностью информации в соврем
енной теоретической физике, когда, например, характеристическая функци
я, так называемый «лагранжиан», описывающая электромагнитные и слабые в
заимодействия, такова, что даже просто чтобы ее записать только изначаль
но, надо потратить примерно страницу бумажного листа. Откуда, почему? Эти
вопросы там не ставятся. Потому что так получается хорошо. И действитель
но, хорошо получается, ничего нельзя сказать. Но разве это есть понимание
природы?
Немножко лучше дело обстоит сейчас в струнной теории: сейчас самое модно
е направление Ц это струнная теория, которая пытается объединить все вз
аимодействия и иметь дело с единой физикой на так называемой «планковск
ой шкале», а уж из нее пытается получить физику низкоэнергетическую, то е
сть ту, которую мы и наблюдаем. Но там дело обстоит только немножко лучше.
Там тоже масса взятых «с потолка» предположений и постулатов: скажем, фи
зическое пространство, оно просто считается 10-мерным или 11-мерным только
потому, что там и только там хорошо получается какая-то процедура, свойст
венная квантовой теории. А никаких внутренних, скажем геометрических ос
нований для этого нет. И это только одна из тех претензий, которые можно пр
едъявить к бурно развивающейся струнной теории.
Вообще-то, по-видимому, та теория (структура), которая, в конце концов, долж
на получиться в физике, во многом будет объединением всех этих попыток, б
олее или менее удачных. То есть это будет некая теория (структура), которая
будет допускать описание на многих эквивалентных языках. Это не значит,
что мы можем, скажем, в духе принципа дополнительности Бора говорить о ко
рпускулярных и, одновременно, о волновых свойствах материи.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29