— Буду счастлив, почтенный поэт и знаток счета, идти по этому пути за вами следом! — с поклоном, торжественно произнес арабский ученый. Глава шестая. ЦАРСКИЙ ДАР Великие люди бывают великими даже в мелочах. Виверанг Люк де Клапси, французский писатель XVIII века По возвращении в Александрию Пьер Ферма, заставив отца страдать от скуки, уединился в отведенной ему Мохаммедом эль Кашти комнате и несколько дней не показывался оттуда. Гостеприимный хозяин напрасно посылал к нему слуг, вынужденных в конце концов приносить еду в его убежище, потому что одержимый бакалавр отказывался оторваться от стола.Маленький звездочет втайне радовался такому поведению молодого гостя, избегавшего тем самым нежелательной встречи с господином Картезиусом и возможного повторного вызова на поединок, который стоил бы головы самому Мохаммеду эль Кашти.Правда, из вежливости арабский ученый не делился с метром Домиником Ферма своими опасениями, а уверял гостя, что его сын занят важнейшим делом, и если не стихами, навеянными впечатлениями от путешествия в страну пирамид и языческих капищ, то математическими исследованиями прямоугольных треугольников, которыми он имел основания увлечься.Метр Доминик Ферма, поминая своего святого, только вздыхал по поводу того, что пора возвращаться во Францию, и что неизвестно еще, как удастся избежать встречи с пиратами на обратном пути, и что напрасно сын его занят тем, что можно с успехом делать дома.Тут арабский ученый восстал против уважаемого гостя:— Как можно вымолвить такое, почтенный гость мой? Достойно ли лишить меня законной гордости по поводу того, что под крышей моего дома по воле аллаха разгадывается одна из примечательных находок угасшего мира древних!Пьер Ферма действительно был занят завершением таблицы рядов простейших (не имеющих общего делителя) пифагоровых троек (сторон прямоугольных треугольников), когда в доме Мохаммеда эль Кашти начался такой переполох, что встревоженный бакалавр отложил в сторону законченную рукопись и вышел из комнаты.Первым на глаза ему попался Огюст, который, очевидно, подкарауливал его. Теперь, смущенно опустив лукавый взор, он уступил Пьеру дорогу.За несколько минут до этого в дом арабского звездочета вошел в парадном мундире гвардейского офицера короля Франции со шпагой на бедре Рене Декарт, блестящий и грозный.Маленький араб, сжавшись в комочек, с ужасом смотрел на него, словно видел впервые.Он показался ему огромным, с львиной гривой волос, падающих на плечи, властным лицом с тяжелыми чертами и массивным носом. Все в его облике выражало горделивую силу и благородство.С высокомерной изысканностью Декарт поздоровался с арабским ученым и метром Домиником Ферма, не обращал внимания на шум, поднятый слугами арабского дома и Огюстом, объясняющимися между собой на разных языках столь же громко, как и непонятно обеим сторонам.— Не откажите в любезности, метр Ферма, пригласите для беседы со мной вашего сына.Но почтенный заместитель мэра французского города потому и добился своего поста, что был человеком, искушенным в дипломатии, к тому же состоявшим в некотором родстве с юридической семьей де Лонг, поэтому он с предельной вежливостью ответил:— Бесконечно рад видеть вас, высокочтимый соотечественник, доблестно служащий своему королю и его высокопреосвященству господину кардиналу, которые в великой мудрости своей и неиссякаемой заботе о подданных, в особенности же знатного рода, к вящему всех счастью, запретили дуэльные поединки во Франции.— Остается в таком случае напомнить вам, что мы не во Франции, — хмуро ответил Декарт.— Однако высокочтимому господину де Карту должно быть известно и совершенно ясно, что, запрещая пагубные поединки, его величество король и его высокопреосвященство господин кардинал имели в виду не столько Францию, сколько французов.— Как я догадываюсь, не понимая благозвучного языка своих гостей, — вмешался на знакомой всем латыни хозяин дома, — почтенный господин Картезиус хотел бы говорить с моим молодым французским гостем о поединке?— Вы правы, уважаемые господа, я намереваюсь говорить с бакалавром Пьером Ферма о нашем несостоявшемся поединке.— Но это невозможно, да подтвердит это аллах! — воздел руки к небу маленький араб.— Но я ничего не имею против этого, — послышался голос Пьера, — я сам хотел отыскать господина Декарта, если бы неожиданное математическое увлечение не помешало мне.— И совершенно напрасно, — отрезал Декарт, — ибо право говорить об этом первому принадлежит мне, и я не намерен его уступать.— Почему же? — искренне удивился Пьер Ферма.Маленький араб понял, что он погиб, ибо сейчас этот свирепый офицер с наружностью льва вызовет на поединок беззащитного юношу, чтобы убить его, после чего не спастись от гнева османского паши и ему, Мохаммеду эль Кашти.— Почему? — переспросил Декарт. — Да потому, милостивый государь, что право первому говорить о несостоявшемся поединке принадлежит мне, офицеру гвардии короля Франции, которому я служу, как и его высокопреосвященству господину кардиналу, и по этому праву я и явился к вам сюда, дабы принести извинение за свое недостойное поведение на кладбище у могилы великого Диофанта, и я, Рене Декарт, почтительно прошу извинить мою непростительную вспыльчивость, вызванную лишь преклонением перед прахом великого ученого древности.Все это Декарт произнес на латинском языке, чтобы хозяин дома мог понять его. И Мохаммед эль Кашти, и метр Доминик Ферма оба не верили ушам, пораженные покаянными словами и одновременно грозным видом офицера.— Нет большего воздаяния аллаху, чем прекращение вражды! — вымолвил наконец маленький араб. — Надо думать, господину Картезиусу удалось найти предложенное молодым Ферма решение уравнения по двум его членам вместо семи, что и привело его к столь благородному поступку?— Вы ошибаетесь, почтенный Мохаммед эль Кашти. Рене Декарт, которого вы видите перед собой, никогда не нарушит данной им клятвы и не станет искать решения уравнения, о котором вы изволили вспомнить. Такой исход оказался бы самым простым, но недостойным той внутренней борьбы, которую мне привелось выдержать, чтобы победить недостойную мыслителя дворянскую спесь и решиться на этот визит с принесением извинений как господину Пьеру Ферма, так и его отцу метру Доминику Ферма и гостеприимному нашему хозяину на александрийской земле Мохаммеду эль Кашти. Я искренне сожалею не только о своей вспыльчивости, но также и о данной мной клятве, которую не могу нарушить, хотя мне очень хотелось бы узнать блестящее решение уравнения по двум членам из семи, но, поверьте, этого я сделать не могу.— То, что сделали вы, уважаемый Рене Декарт, значительно больше нахождения решения, на которое я случайно напал, переводя могильную надпись. Не сомневаюсь, что вам не составило бы труда это сделать, если б не ваш собственный запрет, заслуживающий всяческого уважения, — произнес Пьер Ферма, восхищенно глядя на философа в офицерском мундире. Он вспомнил о прочитанных им трудах Картезиуса, о беседе с ним за шахматной доской во время плавания на фелюге и понял, какой внутренней борьбы стоило Декарту прийти сюда с извинениями. — Я понимаю вас и хотел бы отплатить вам тем же, признав легкомысленным свое предложение найти иное решение уравнения, написанного вашей шпагой на песке. Я сожалею об этом и признаю вас несоизмеримо сильнее себя, ибо нет победы большей, чем победа над самим собой.— Вот вам моя рука, Пьер, мой друг, я всегда буду гордиться не только этой минутой торжества над тем, что надлежит неустанно искоренять, но и знакомством с вами и переходом теперь на обращение ко мне — просто Рене.Мохаммед эль Кашти не воспринял этой прочувствованной французской речи, но прекрасно понял значение того рукопожатия, которым обменялись между собой Рене и Пьер.— Слава аллаху, слава аллаху! — только и мог пробормотать он.— Да возрадуется святой Доминик, чьи молитвы заступника дошли до всевышнего! — вторил ему метр Доминик Ферма.— Если Рене, мой друг, почтит вниманием некоторые мои «математические этюды», как мне хочется их назвать, то я буду счастлив, хотя они касаются всего лишь прямоугольных треугольников, а не проблем души и тела.— С охотой, Пьер, мой друг. Я всегда верил, что математика в конце концов привлечет вас к себе, ибо нет, кроме нее, более организующего начала.— Представьте себе, Рене, — говорил Пьер Ферма, ведя Декарта в свою рабочую комнату, — я больше всего сожалел в последние дни, что не могу из-за нашей размолвки познакомить вас со своими этюдами.По дороге Пьеру и Рене попался извивающийся из желания угодить Огюст, но он исчез, едва Декарт посмотрел на него.Оба француза сели за стол у стрельчатого окна, защищенного от солнца пышной зеленью сада. Здесь жара не ощущалась такой невыносимой, как в другом месте.— Итак, с чем же вы, мой друг, хотите познакомить меня? Из-за чего вы жалели о нашей размолвке?— Прежде всего с тем, что формула Пифагора заключает в себе строго организованные ряды простейших пифагоровых троек, то есть значений сторон прямоугольных треугольников, не имеющих общего делителя.— Любопытно. Как же вы это доказываете, мой друг?— Позвольте и мне, уважаемые гости Аль-Искандарии, ознакомиться с выводами молодого ученого, — попросил вошедший вслед за Пьером и Декартом хозяин дома.— Охотно, уважаемый Мохаммед эль Кашти, тем более что вы послужили толчком для всех находок, которые я могу показать, — живо отозвался Пьер Ферма.— О, слава аллаху, моя помощь в этом высоком деле ничтожно мала, я обратил ваше внимание лишь на то, чего не видел сам.— Я сожалею, что не пришел извиниться сразу, тогда мы смогли бы вместе повидать необычный орнамент, о котором я уже услышал через Огюста, но я надеюсь, что наш друг возместит упущенное, — произнес Декарт, поклонившись в сторону Пьера Ферма.И тот стал увлеченно показывать сделанные им преобразования формулы Пифагора.Из выражения для «y», где в числителе разность квадратов a и b, ясно, что хотя бы одна из этих величин не может быть четной, иначе «y» не будет целым числом. Случай с иррациональными числами рассмотрен в последующем примечании.Для возрастающих коэффициентов a и b можно составить таблицу, из которой вытекает ряд закономерностей, в частности формулировка новой теоремы. Нечетный катет простейших пифагоровых троек в целых числах разлагается на два взаимно простых сомножителя, квадраты которых соответственно равны сумме или разности гипотенузы и второго катета, то есть в дополнение к теореме Пифагора: a\2 = z — y; b\2 = z + y.Декарт внимательно выслушал Пьера Ферма, взял в руки составленную им таблицу, лицо его из грозного стало сосредоточенным, потом он горько усмехнулся:— Друг мой, боюсь разочаровать вас, но стоило ли вам вкладывать столько труда в «изобретение колесницы», известной еще при фараонах?— Вы правы, Рене, очевидно, при фараонах жрецы бога Тота знали эти ряды, но разве не наш долг вернуть людям утраченные знания?— Вы не поняли меня, друг мой. Я применил метафору о колеснице, имея в виду, что она известна была и древним римлянам, даже в наше время на ее основе созданы кареты. Просто вам нет надобности применять свой математический дар для вычисления сторон приевшихся всем прямоугольников, поскольку древние оставили нам изящные формулы, дающие значения всех возможных пифагоровых троек. — И он размашисто написал на листе несколько формул. — Их связывают чуть ли не с Платоном, их можно найти в X книге «Начал» Евклида.— Простите, что я вступаю в ваш высоконаучный разговор, почтенные знатоки чисел, — вмешался звездочет, — но арабской науке действительно известны эти древние формулы, правда, в несколько другом написании. Однако, к сожалению, до нас не дошел их вывод. Впрочем, в том, что они дают верный результат, я имел, по воле аллаха, возможность убедиться всякий раз, когда их применял, подобно тому, как это делал сам Диофант.Пьер Ферма нахмурился, пристально глядя на свои и написанные Декартом формулы:— Они выводятся очень просто, почтенные господа, из тех самых выражений, которые позволили мне составить таблицу. — И Пьер Ферма показал, как удивительно простым способом можно получить эти древние формулы.— Не могу отказать вам в математическом остроумии, но нахождение вывода старых формул не может подняться до значения самих этих формул. Так что я не вижу, к сожалению, смысла в вашей умственной расточительности ради повторения давно человечеством пройденного.Пьер Ферма покраснел, потом побледнел, пронизывающе смотря на составленную им таблицу рядов, которую в эту минуту изучал арабский звездочет.— Простите мне во имя аллаха, мои высокочтимые гости, что я рискую обратить ваше внимание на то, что в составленной молодым гостем таблице я вижу весьма примечательные особенности, которые, надо думать, он подметил и обосновал. Кроме того, можно увидеть, что тройки, вычисленные по древним формулам, не окажутся, как в таблице господина Пьера Ферма, простейшими числами. Произвольно задаваясь величинам m и n, мы получим после вычислений хаотические, беспорядочные, как россыпь разноцветных камней, значения всевозможных прямоугольных треугольников, отнюдь не способствующих выявлению законов их построения.— Вы правы, уважаемый Мохаммед эль Кашти, таблица троек действительно дает возможность установить некоторые зависимости как в вертикальных рядах, так и в рядах, соседствующих по горизонтали. — И он познакомил слушателей с тем, что открыл. По просьбе арабского ученого особенно остановился Пьер Ферма на выборе коэффициента a и b в своих формулах.Все значения сторон треугольников с возрастанием ряда изменяются по арифметической прогрессии, показатель которой для y — постоянен и равен 4, а для x и z увеличивается с порядковым номером ряда и порядкового номера тройки в вертикальном ряду и равен 4 (b + i — 1), где i — порядковый номер тройки в ряду.— Вас интересует, уважаемый Мохаммед эль Кашти, случай, когда коэффициенты a и b содержат общий множитель v21?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83