https://wodolei.ru/catalog/vanni/
Но затем диаграммы Фейнмана стали использовать для схематического изображения взаимодействий частиц. Такие картинки как бы дополняют интуицию физика, однако их следует толковать известной долей осторожности. Например, в траектории электрона никогда не наблюдается резкого излома. Поскольку нам известны только начальное и конечное положения электронов, мы не знаем точно момента, когда происходит обмен фотоном, и какая из частиц испускает, а какая поглощает фотон. Все эти детали скрыты пеленой квантовой неопределенности.
Несмотря на это предостережение, диаграммы Фейнмана оказались эффективным средством квантового описания взаимодействия. Фотон, которым обмениваются электроны, можно рассматривать как своего рода посыльного одного из электронов, сообщающего другому: “Я здесь, так что пошевеливайся!”. Разумеется, все квантовые процессы носят вероятностный характер, поэтому подобный обмен происходит лишь с определенной вероятностью. Может случиться, что электроны обменяются двумя и более фотонами (рис. 13), хотя это менее вероятно.
Важно отдавать себе отчет в том, что в действительности мы не видим фотонов, снующих от одного электрона к другому. Переносчики взаимодействия – “внутреннее дело” двух электронов. Они существуют исключительно для того, чтобы сообщать электронам, как двигаться, и, хотя они переносят энергию и импульс, соответствующие законы сохранения классической физики на них не распространяются. Фотоны в этом случае можно уподобить мячу, которым обмениваются на корте теннисисты. Подобно тому как теннисный мяч определяет поведение теннисистов на игровой площадке, фотон влияет на поведение электронов.
Успешное описание взаимодействия с помощью частицы-переносчика сопровождалось расширением понятия фотона: фотон оказывается не только частицей видимого нами света, но и призрачной частицей, которую “видят” только заряженные частицы, претерпевающие рассеяние. Иногда наблюдаемые нами фотоны называют реальными, а фотоны, переносящие взаимодействие, – виртуальными, что напоминает об их скоротечном, почти призрачном существовании. Различие между реальными и виртуальными фотонами несколько условно, но тем не менее эти понятия получили широкое распространение.
Описание электромагнитного взаимодействия с использованием понятия виртуальных фотонов – его переносчиков – по своему значению выходит за рамки просто иллюстраций квантового характера. В действительности речь идет о продуманной до мельчайших деталей и оснащенной совершенным математическим аппаратом теории, известной под названием квантовой электродинамики, сокращенно КЭД. Когда КЭД была впервые сформулирована (это произошло вскоре после второй мировой войны), физики получили в свое распоряжение теорию, удовлетворяющую основным принципам как квантовой теории, так и теории относительности. Это прекрасный случай увидеть совместные проявления двух важных аспектов новой физики и. проверить их экспериментально.
Теоретически создание КЭД явилось выдающимся достижением. Более ранние исследования взаимодействия фотонов и электронов имели весьма ограниченный успех из-за математических трудностей. Но коль скоро теоретики научились правильно проводить вычисления, все остальное становилось на место. КЭД предложила процедуру получения результатов любого сколь угодно сложного процесса с участием фотонов и электронов.
Рис.13. Рассеяние электронов обусловлено обменом двумя виртуальными фотонами. Такие процессы составляют небольшую поправку к основному процессу, изображенному на рис. 11
Чтобы проверить, насколько хорошо теория согласуется с реальностью, физики сосредоточили внимание на двух эффектах, представлявших особый интерес. Первый касался энергетических уровней атома водорода – простейшего атома. КЭД предсказывала, что уровни должны быть слегка смещены относительно положения, которое они занимали бы, если бы не существовало виртуальных фотонов. Теория очень точно предсказывала величину этого смещения. Эксперимент по обнаружению и измерению смещения с предельной точностью осуществил Уиллис Лэмб из Университета шт. Аризона. Ко всеобщему восторгу результаты вычислений прекрасно совпадали с экспериментальными данными.
Вторая решающая проверка КЭД касалась чрезвычайно малой поправки к собственному магнитному моменту электрона. И снова результаты теоретических расчетов и эксперимента полностью совпали. Теоретики принялись уточнять вычисления, экспериментаторы – усовершенствовать приборы. Но, хотя точность как теоретических предсказаний, так и экспериментальных результатов непрерывно повышалась, соответствие между КЭД и экспериментом оставалось безукоризненным. Ныне теоретические и экспериментальные результаты по-прежнему согласуются в пределах достигнутой точности, что означает совпадение более девяти знаков после запятой. Столь поразительное соответствие дает право считать КЭД наиболее совершенной из существующих естественнонаучных теорий.
Нужно ли говорить, что после подобного триумфа КЭД была принята как модель для квантового описания трех других фундаментальных взаимодействий. Разумеется, полям, связанным с другими взаимодействиями, должны соответствовать иные частицы-переносчики. Для описания гравитации был введен гравитон, играющий такую же роль, как фотон. При гравитационном взаимодействии двух частиц между ними происходит обмен гравитонами. Это взаимодействие можно представить наглядно с помощью диаграмм, напоминающих те, что показаны на рис. 12 и 13. Именно гравитоны переносят сигналы от Луны океанам, следуя которым те поднимаются во время приливов и опускаются при отливах. Гравитоны, снующие между Землей и Солнцем, удерживают нашу планету на орбите. Гравитоны накрепко приковывают нас к Земле.
Подобно фотонам, гравитоны движутся со скоростью света, следовательно, гравитоны – это частицы с “нулевой массой покоя”. Но на этом сходство между гравитонами и фотонами кончается. В то время как фотон имеет спин 1, спин гравитона равен 2.
Таблица 4
Частицы-переносчики четырех фундаментальных взаимодействий. Масса выражена в единицах массы протона.
Это важное различие, поскольку оно определяет направление силы: при электромагнитном взаимодействии одноименно заряженные частицы, например электроны, отталкиваются, а при гравитационном – все частицы притягиваются друг к другу.
Гравитоны могут быть реальными и виртуальными. Реальный гравитон – это не что иное, как квант гравитационной волны, подобно тому как реальный фотон – квант электромагнитной волны. В принципе реальные гравитоны можно “наблюдать”. Но поскольку гравитационное взаимодействие невероятно слабое, гравитоны не удается детектировать непосредственно. Взаимодействие гравитонов с другими квантовыми частицами настолько слабое, что вероятность рассеяния или поглощения гравитона, например, протоном бесконечно мала.
Основная идея обмена частицами-переносчиками распространяется и на остальные взаимодействия (табл. 4) – слабое и сильное. Однако в деталях имеются важные различия. Напомним, что сильное взаимодействие обеспечивает связь между кварками. Такую связь может создать силовое поле, сходное с электромагнитным, но более сложное. Электрические силы приводят к образованию связанного состояния двух частиц с зарядами противоположных знаков. В случае кварков возникают связанные состояния трех частиц, что свидетельствует о более сложном характере силового поля, которому соответствуют три разновидности “заряда”. Частицы – переносчики взаимодействия между кварками, связывающие их попарно или тройками, называют глюонами.
В случае слабого взаимодействия ситуация несколько иная. Радиус этого взаимодействия чрезвычайно мал. Поэтому переносчиками слабого взаимодействия должны быть частицы с большими массами покоя. Энергию, заключенную в такой массе, приходится “брать в долг” в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга, о котором уже шла речь на с. 50. Но поскольку “взятая в долг” масса (и, следовательно, энергия) столь велика, принцип неопределенности требует, чтобы срок погашения такого кредита был чрезвычайно коротким – всего лишь около 10^-28с. Столь короткоживущие частицы не успевают отойти особенно далеко, и радиус переносимого ими взаимодействия очень мал.
В действительности существуют два типа переносчиков слабого взаимодействия. Один из них во всем, кроме массы покоя, подобен фотону. Эти частицы называют Z-частицами. По существу Z-частицы представляют собой новую разновидность света. Другой тип переносчиков слабого взаимодействия, W-частицы, отличаются от Z-частиц наличием электрического заряда. В гл. 7 мы обсудим более подробно свойства Z– и W-частиц, которые были открыты лишь в 1983 г.
Классификация частиц на кварки, лептоны и переносчики взаимодействий завершает перечень известных субатомных частиц. Каждая из названных частиц играет свою, но решающую роль в формировании Вселенной. Не будь частиц-переносчиков, не существовало бы и взаимодействий, и каждая частица осталась бы в неведении относительно своих партнеров. Не могли бы возникнуть сложные системы, любая деятельность была бы невозможна. Без кварков не было бы ни атомных ядер, ни солнечного света. Без лептонов не могли бы существовать атомы, не возникли бы химические структуры и сама жизнь.
Каковы задачи физики элементарных частиц?
Влиятельная британская газета “Гардиан” однажды опубликовала редакционную статью, в которой ставится под вопрос целесообразность развития физики элементарных частиц – дорогостоящего предприятия, которое поглощает не только заметную долю национального бюджета науки, но и львиную долю лучших умов. “Знают ли физики, что они делают? – вопрошала “Гардиан”. – Если даже знают, то какая от этого польза? Кому, кроме физиков, нужны все эти частицы?”.
Через несколько месяцев после этой публикации мне довелось присутствовать в Балтиморе на лекции Джорджа Киуорта, советника президента США по науке. Киуорт также обратился к физике элементарных частиц, но его лекция была выдержана в совершенно другом тоне. Американские физики были под впечатлением недавнего сообщения из ЦЕРНа, ведущей Европейской лаборатории по физике элементарных частиц, об открытии фундаментальных W– и Z-частиц, которые удалось, наконец, получить на большом протон-антипротонном ускорителе на встречных пучках (коллайдере). Американцы привыкли, что все сенсационные открытия совершаются в их лабораториях физики высоких энергий. Не является ли то, что они уступили пальму первенства, признаком научного и даже национального упадка?
У Киуорта не вызывало сомнений, что для процветания США вообще и американской экономики в частности необходимо, чтобы страна занимала передовые рубежи в научных исследованиях. Основные проекты фундаментальных исследований, заявил Киуорт, находятся на острие прогресса. Соединенные Штаты должны вернуть свое превосходство в области физики элементарных частиц,
На той же неделе по информационным каналам понеслись сообщения об американском проекте гигантского ускорителя, предназначенного для проведения нового поколения экспериментов по физике элементарных частиц. Основные затраты предусматривались в размере 2 млрд. долл., что делало этот ускоритель самой дорогой машиной из когда-либо построенных человеком. Этот гигант дядюшки Сэма, по сравнению с которым даже новый ускоритель ЦЕРНа ЛЭП покажется карликом, настолько велик, что внутри его кольца могло бы целиком разместиться государство Люксембург! Гигантские сверхпроводящие магниты предназначены для создания интенсивных магнитных полей, которые будут заворачивать пучок частиц, направляя его вдоль кольцевидной камеры; она представляет собой настолько огромное сооружение, что новый ускоритель предполагается разместить в пустыне. Хотелось бы знать, что думает по этому поводу редактор газеты “Гардиан”.
Известная под названием Сверхпроводящий суперколлайдер (Superconducting Super Collider, SSC), но чаще именуемая “де-зертрон” (от англ. desert – пустыня. – Ред.), эта чудовищная машина сможет ускорять протоны до энергий, примерно в 20 тыс. раз превышающих энергию (массу) покоя. Эти цифры можно интерпретировать по-разному. При максимальном ускорении частицы будут двигаться со скоростью всего на 1 км/ч меньше скорости света – предельной скорости во Вселенной. Релятивистские эффекты при этом столь велики, что масса каждой частицы в 20 тыс. раз больше, чем в состоянии покоя. В системе, связанной с такой частицей, время растянуто настолько, что 1 с соответствует 5,5 ч в нашей системе отсчета. Каждый километр камеры, по которой проносится частица, будет “казаться” ей сжатым всего лишь до 5,0 см.
Что за крайняя нужда заставляет государства расходовать столь огромные ресурсы на все более разрушительное расщепление атома? Есть ли какая-нибудь практическая польза в таких исследованиях?
Любой большой науке, безусловно, не чужд дух борьбы за национальный приоритет. Здесь так же, как в искусстве или спорте, приятно завоевывать призы и мировое признание. Физика элементарных частиц стала своего рода символом государственной мощи. Если она развивается успешно и дает ощутимые результаты, то это свидетельствует о том, что наука, техника, равно как и экономика страны в целом, находятся в основном на должном уровне. Это поддерживает уверенность в высоком качестве продукции других отраслей технологии более общего назначения. Для создания ускорителя и всего сопутствующего оборудования требуется очень высокий уровень профессионализма. Накопленный при разработке новых технологий ценный опыт может оказать неожиданное и благотворное влияние на другие направления научных исследований.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
Несмотря на это предостережение, диаграммы Фейнмана оказались эффективным средством квантового описания взаимодействия. Фотон, которым обмениваются электроны, можно рассматривать как своего рода посыльного одного из электронов, сообщающего другому: “Я здесь, так что пошевеливайся!”. Разумеется, все квантовые процессы носят вероятностный характер, поэтому подобный обмен происходит лишь с определенной вероятностью. Может случиться, что электроны обменяются двумя и более фотонами (рис. 13), хотя это менее вероятно.
Важно отдавать себе отчет в том, что в действительности мы не видим фотонов, снующих от одного электрона к другому. Переносчики взаимодействия – “внутреннее дело” двух электронов. Они существуют исключительно для того, чтобы сообщать электронам, как двигаться, и, хотя они переносят энергию и импульс, соответствующие законы сохранения классической физики на них не распространяются. Фотоны в этом случае можно уподобить мячу, которым обмениваются на корте теннисисты. Подобно тому как теннисный мяч определяет поведение теннисистов на игровой площадке, фотон влияет на поведение электронов.
Успешное описание взаимодействия с помощью частицы-переносчика сопровождалось расширением понятия фотона: фотон оказывается не только частицей видимого нами света, но и призрачной частицей, которую “видят” только заряженные частицы, претерпевающие рассеяние. Иногда наблюдаемые нами фотоны называют реальными, а фотоны, переносящие взаимодействие, – виртуальными, что напоминает об их скоротечном, почти призрачном существовании. Различие между реальными и виртуальными фотонами несколько условно, но тем не менее эти понятия получили широкое распространение.
Описание электромагнитного взаимодействия с использованием понятия виртуальных фотонов – его переносчиков – по своему значению выходит за рамки просто иллюстраций квантового характера. В действительности речь идет о продуманной до мельчайших деталей и оснащенной совершенным математическим аппаратом теории, известной под названием квантовой электродинамики, сокращенно КЭД. Когда КЭД была впервые сформулирована (это произошло вскоре после второй мировой войны), физики получили в свое распоряжение теорию, удовлетворяющую основным принципам как квантовой теории, так и теории относительности. Это прекрасный случай увидеть совместные проявления двух важных аспектов новой физики и. проверить их экспериментально.
Теоретически создание КЭД явилось выдающимся достижением. Более ранние исследования взаимодействия фотонов и электронов имели весьма ограниченный успех из-за математических трудностей. Но коль скоро теоретики научились правильно проводить вычисления, все остальное становилось на место. КЭД предложила процедуру получения результатов любого сколь угодно сложного процесса с участием фотонов и электронов.
Рис.13. Рассеяние электронов обусловлено обменом двумя виртуальными фотонами. Такие процессы составляют небольшую поправку к основному процессу, изображенному на рис. 11
Чтобы проверить, насколько хорошо теория согласуется с реальностью, физики сосредоточили внимание на двух эффектах, представлявших особый интерес. Первый касался энергетических уровней атома водорода – простейшего атома. КЭД предсказывала, что уровни должны быть слегка смещены относительно положения, которое они занимали бы, если бы не существовало виртуальных фотонов. Теория очень точно предсказывала величину этого смещения. Эксперимент по обнаружению и измерению смещения с предельной точностью осуществил Уиллис Лэмб из Университета шт. Аризона. Ко всеобщему восторгу результаты вычислений прекрасно совпадали с экспериментальными данными.
Вторая решающая проверка КЭД касалась чрезвычайно малой поправки к собственному магнитному моменту электрона. И снова результаты теоретических расчетов и эксперимента полностью совпали. Теоретики принялись уточнять вычисления, экспериментаторы – усовершенствовать приборы. Но, хотя точность как теоретических предсказаний, так и экспериментальных результатов непрерывно повышалась, соответствие между КЭД и экспериментом оставалось безукоризненным. Ныне теоретические и экспериментальные результаты по-прежнему согласуются в пределах достигнутой точности, что означает совпадение более девяти знаков после запятой. Столь поразительное соответствие дает право считать КЭД наиболее совершенной из существующих естественнонаучных теорий.
Нужно ли говорить, что после подобного триумфа КЭД была принята как модель для квантового описания трех других фундаментальных взаимодействий. Разумеется, полям, связанным с другими взаимодействиями, должны соответствовать иные частицы-переносчики. Для описания гравитации был введен гравитон, играющий такую же роль, как фотон. При гравитационном взаимодействии двух частиц между ними происходит обмен гравитонами. Это взаимодействие можно представить наглядно с помощью диаграмм, напоминающих те, что показаны на рис. 12 и 13. Именно гравитоны переносят сигналы от Луны океанам, следуя которым те поднимаются во время приливов и опускаются при отливах. Гравитоны, снующие между Землей и Солнцем, удерживают нашу планету на орбите. Гравитоны накрепко приковывают нас к Земле.
Подобно фотонам, гравитоны движутся со скоростью света, следовательно, гравитоны – это частицы с “нулевой массой покоя”. Но на этом сходство между гравитонами и фотонами кончается. В то время как фотон имеет спин 1, спин гравитона равен 2.
Таблица 4
Частицы-переносчики четырех фундаментальных взаимодействий. Масса выражена в единицах массы протона.
Это важное различие, поскольку оно определяет направление силы: при электромагнитном взаимодействии одноименно заряженные частицы, например электроны, отталкиваются, а при гравитационном – все частицы притягиваются друг к другу.
Гравитоны могут быть реальными и виртуальными. Реальный гравитон – это не что иное, как квант гравитационной волны, подобно тому как реальный фотон – квант электромагнитной волны. В принципе реальные гравитоны можно “наблюдать”. Но поскольку гравитационное взаимодействие невероятно слабое, гравитоны не удается детектировать непосредственно. Взаимодействие гравитонов с другими квантовыми частицами настолько слабое, что вероятность рассеяния или поглощения гравитона, например, протоном бесконечно мала.
Основная идея обмена частицами-переносчиками распространяется и на остальные взаимодействия (табл. 4) – слабое и сильное. Однако в деталях имеются важные различия. Напомним, что сильное взаимодействие обеспечивает связь между кварками. Такую связь может создать силовое поле, сходное с электромагнитным, но более сложное. Электрические силы приводят к образованию связанного состояния двух частиц с зарядами противоположных знаков. В случае кварков возникают связанные состояния трех частиц, что свидетельствует о более сложном характере силового поля, которому соответствуют три разновидности “заряда”. Частицы – переносчики взаимодействия между кварками, связывающие их попарно или тройками, называют глюонами.
В случае слабого взаимодействия ситуация несколько иная. Радиус этого взаимодействия чрезвычайно мал. Поэтому переносчиками слабого взаимодействия должны быть частицы с большими массами покоя. Энергию, заключенную в такой массе, приходится “брать в долг” в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга, о котором уже шла речь на с. 50. Но поскольку “взятая в долг” масса (и, следовательно, энергия) столь велика, принцип неопределенности требует, чтобы срок погашения такого кредита был чрезвычайно коротким – всего лишь около 10^-28с. Столь короткоживущие частицы не успевают отойти особенно далеко, и радиус переносимого ими взаимодействия очень мал.
В действительности существуют два типа переносчиков слабого взаимодействия. Один из них во всем, кроме массы покоя, подобен фотону. Эти частицы называют Z-частицами. По существу Z-частицы представляют собой новую разновидность света. Другой тип переносчиков слабого взаимодействия, W-частицы, отличаются от Z-частиц наличием электрического заряда. В гл. 7 мы обсудим более подробно свойства Z– и W-частиц, которые были открыты лишь в 1983 г.
Классификация частиц на кварки, лептоны и переносчики взаимодействий завершает перечень известных субатомных частиц. Каждая из названных частиц играет свою, но решающую роль в формировании Вселенной. Не будь частиц-переносчиков, не существовало бы и взаимодействий, и каждая частица осталась бы в неведении относительно своих партнеров. Не могли бы возникнуть сложные системы, любая деятельность была бы невозможна. Без кварков не было бы ни атомных ядер, ни солнечного света. Без лептонов не могли бы существовать атомы, не возникли бы химические структуры и сама жизнь.
Каковы задачи физики элементарных частиц?
Влиятельная британская газета “Гардиан” однажды опубликовала редакционную статью, в которой ставится под вопрос целесообразность развития физики элементарных частиц – дорогостоящего предприятия, которое поглощает не только заметную долю национального бюджета науки, но и львиную долю лучших умов. “Знают ли физики, что они делают? – вопрошала “Гардиан”. – Если даже знают, то какая от этого польза? Кому, кроме физиков, нужны все эти частицы?”.
Через несколько месяцев после этой публикации мне довелось присутствовать в Балтиморе на лекции Джорджа Киуорта, советника президента США по науке. Киуорт также обратился к физике элементарных частиц, но его лекция была выдержана в совершенно другом тоне. Американские физики были под впечатлением недавнего сообщения из ЦЕРНа, ведущей Европейской лаборатории по физике элементарных частиц, об открытии фундаментальных W– и Z-частиц, которые удалось, наконец, получить на большом протон-антипротонном ускорителе на встречных пучках (коллайдере). Американцы привыкли, что все сенсационные открытия совершаются в их лабораториях физики высоких энергий. Не является ли то, что они уступили пальму первенства, признаком научного и даже национального упадка?
У Киуорта не вызывало сомнений, что для процветания США вообще и американской экономики в частности необходимо, чтобы страна занимала передовые рубежи в научных исследованиях. Основные проекты фундаментальных исследований, заявил Киуорт, находятся на острие прогресса. Соединенные Штаты должны вернуть свое превосходство в области физики элементарных частиц,
На той же неделе по информационным каналам понеслись сообщения об американском проекте гигантского ускорителя, предназначенного для проведения нового поколения экспериментов по физике элементарных частиц. Основные затраты предусматривались в размере 2 млрд. долл., что делало этот ускоритель самой дорогой машиной из когда-либо построенных человеком. Этот гигант дядюшки Сэма, по сравнению с которым даже новый ускоритель ЦЕРНа ЛЭП покажется карликом, настолько велик, что внутри его кольца могло бы целиком разместиться государство Люксембург! Гигантские сверхпроводящие магниты предназначены для создания интенсивных магнитных полей, которые будут заворачивать пучок частиц, направляя его вдоль кольцевидной камеры; она представляет собой настолько огромное сооружение, что новый ускоритель предполагается разместить в пустыне. Хотелось бы знать, что думает по этому поводу редактор газеты “Гардиан”.
Известная под названием Сверхпроводящий суперколлайдер (Superconducting Super Collider, SSC), но чаще именуемая “де-зертрон” (от англ. desert – пустыня. – Ред.), эта чудовищная машина сможет ускорять протоны до энергий, примерно в 20 тыс. раз превышающих энергию (массу) покоя. Эти цифры можно интерпретировать по-разному. При максимальном ускорении частицы будут двигаться со скоростью всего на 1 км/ч меньше скорости света – предельной скорости во Вселенной. Релятивистские эффекты при этом столь велики, что масса каждой частицы в 20 тыс. раз больше, чем в состоянии покоя. В системе, связанной с такой частицей, время растянуто настолько, что 1 с соответствует 5,5 ч в нашей системе отсчета. Каждый километр камеры, по которой проносится частица, будет “казаться” ей сжатым всего лишь до 5,0 см.
Что за крайняя нужда заставляет государства расходовать столь огромные ресурсы на все более разрушительное расщепление атома? Есть ли какая-нибудь практическая польза в таких исследованиях?
Любой большой науке, безусловно, не чужд дух борьбы за национальный приоритет. Здесь так же, как в искусстве или спорте, приятно завоевывать призы и мировое признание. Физика элементарных частиц стала своего рода символом государственной мощи. Если она развивается успешно и дает ощутимые результаты, то это свидетельствует о том, что наука, техника, равно как и экономика страны в целом, находятся в основном на должном уровне. Это поддерживает уверенность в высоком качестве продукции других отраслей технологии более общего назначения. Для создания ускорителя и всего сопутствующего оборудования требуется очень высокий уровень профессионализма. Накопленный при разработке новых технологий ценный опыт может оказать неожиданное и благотворное влияние на другие направления научных исследований.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47