– сказала знаменитая крыловская Ворона. – Это не принято в хорошем обществе.
– Приглашая гостей, позаботьтесь об угощении! – сказала Лиса, доедая с плошки манную кашу, которой угощала Журавля.
– И не забудьте о сервировке, – грустно добавил голодный Журавль.
– Собираясь путешествовать вместе, не берите билетов на разные виды транспорта, – посоветовали Лебедь, Рак и Щука.
– Охотясь на очковую змею, не забудьте сбить с неё очки, – напомнил Рикки-Тикки-Тави.
– И всегда носите их в футляре, – добавила Мартышка, – ведь больше они ни на что не годятся!
– Не заглядывайте в пасть крокодилу, – остерёг нас любопытный Слонёнок. – Как бы он не оставил вас с носом! И предлинным.
– Никогда не опаздывайте! – сказала Кошка, которая ходит сама по себе. – Вы рискуете прийти к шапочному разбору.
Это был своевременный совет, и мы поспешили в цирк.
В ЦИРКЕ
Что может быть лучше летнего цирка? Только зимний! Цирк любят все. Старики вспоминают здесь свою молодость. Молодые превращаются в детей. А дети, которых досрочно пытаются превратить во взрослых, забывают обо всём на свете и развлекаются, как им и положено.
На сей раз они получили возможность соединить приятное с полезным, посмотрев программу развлекательно-познавательную, к тому же с числовым уклоном. Не сомневаюсь: тут кое-кто из юных читателей недовольно поморщится. Возможно, это будет москвич. Возможно, ленинградец. Но уж наверняка не уроженец Энэмска!
Энэмские дети любят числа с рождения. И потому они страшно обрадовались, когда на манеж выбежали два клоуна в костюмах, сплошь размалёванных цифрами.
– Здравствуй, Пи! – на весь цирк закричал один.
– Здравствуй, Э! – закричал другой. – Что у тебя висит на руке?
– Не скажу! – заупрямился Пи и тут же проговорился: – Сумка.
– А что ты в ней прячешь?
– Не скажу, – опять заупрямился Пи и опять проговорился: – Корни.
– Какие корни? Еловые?
– Не угадал! – визгливо захохотал Пи.
– Дубовые?
– Опять не угадал! – снова захохотал Пи. – Квадратные и кубические.
– А что ты собираешься с ними делать?
– Извлекать!
– Откуда?
– Из сумки!
Тут он действительно извлёк из сумки чёрную табличку и очень крупно написал на ней мелом:
– Слушай, Э! – снова закричал он. – Сейчас я буду тебя экзаменовать. Вот тебе корень квадратный из ста шестидесяти девяти. Как ты будешь его извлекать?
– Надо подумать! – сказал Э и поскрёб в затылке.
– А вот и не надо! – возразил Пи. – Корни лучше всего извлекать носовым платком.
В руке у него появился большой красный платок с крупными белыми горохами, и он стёр им среднюю цифру в числе 169.
– Главное сделано, – заявил он. – Остаются пустяки. Извлекаем корень квадратный из единицы. Что получим?
– Единицу! – закричали со всех сторон.
– Правильно! – подтвердил Пи. – А теперь извлечём корень квадратный из девятки. Получим…
– Три! – опять закричали зрители.
– Цифры 1 и 3 образуют число 13. Вот вам и корень квадратный из ста шестидесяти девяти!
Публика дружно захлопала, а бедный Э, наоборот, ужасно расстроился.
– Не штука извлечь корень квадратный, – сказал он, – а ты вот попробуй кубический!
– Пожалуйста! – согласился Пи и написал на дощечке:
Потом он опять стёр платком, но уже две средние цифры, извлёк корень кубический из оставшейся единицы, затем из восьми и получил 12, что и есть корень кубический из тысячи семисот двадцати восьми.
Э после того заревел в голос и стал утирать нос платком Пи. А зрители снова захлопали, и громче всех – Главный терятель. Числовые фокусы – его страсть.
Девочке клоуны тоже понравились, и она спросила, откуда у них такие смешные имена. Я объяснил, что так в математике обозначают особые числа, которые, между прочим, тоже иррациональны. Одно из них для краткости записывают греческой буквой «пи» (?). Это число очень важное. Оно помогает нам вычислять длину окружности и приближённо равно трём целым и четырнадцати сотым (?3,14). Число «э» обозначают маленьким латинским «е», и оно приближённо равно двум целым семидесяти двум сотым (?2,72). Но девочке оно понадобится много позже, когда она познакомится с высшей математикой. А пока будет с неё и того, что обозначения «пи» и «э» ввёл великий швейцарский математик Леонард Эйлер, который долгие годы жил в России и был единомышленником великого Ломоносова.
Вслед за клоунами выступал жонглёр-мнемотехник. Он делал несколько дел сразу: танцевал на спине у бегущей лошади, жонглировал светящимися дисками и между прочим отгадывал степени натуральных чисел, задуманные зрителями.
Вы, конечно, помните, что в возведении в степень участвуют три числа. То, которое возводится в степень, называется основанием степени. То, что показывает, в какую степень возводится основание, называется показателем степени. А то, что получается в результате, просто степенью.
Так вот, отгадывая степень числа, жонглёр-мнемотехник всякий раз представлял её в виде суммы последовательных нечётных чисел, количество которых равно основанию степени. Например, отгадав число 8, он представил его в виде суммы 3+5. И так как 8 – это два в кубе(23), то и участвовало в сумме два последовательных нечётных слагаемых. Они-то и зажглись на двух дисках, которыми жонглировал мнемотехник.
Точно так отгадал он число 81, представив его в виде суммы трёх слагаемых: 25+27+29. Ведь 81 это четвёртая степень трёх (З4)! За этим числом последовало другое – 16, то есть 42 , потом 125 (53)… И всякий раз число дисков менялось в зависимости от основания степени, а значит, и от числа слагаемых, на которые она разложена.
– Интересный фокус! – одобрила девочка. – Каково основание, столько и дисков.
Но я сказал, что это не фокус, а правило. И я могу его доказать. Фокус же состоит в том, что жонглёр отгадывал задуманные степени, да ещё стоя на бегущей лошади. И вот этого я нипочём бы не смог. Даже сидя верхом на стуле.
Жонглёра сменили воздушные гимнасты. Они тоже делали несколько дел сразу: кувыркались под куполом и заодно показывали действия с обыкновенными дробями. Это было красивое зрелище. Под звуки «Лунного вальса» разноцветные прожекторы выхватывали из темноты стройные фигуры в светящихся костюмах, на которых всякий раз вспыхивали другие числа. Воздушные дроби преображались на глазах: делились, умножались, сокращались, менялись числителями и знаменателями.
Покончив с обыкновенными дробями, гимнасты перешли к десятичным, и в воздухе замелькали нули, запятые, знаки приближения. Завершился номер, как водится, самым эффектным трюком: периодической дробью.
Музыка смолкла. В темноте вспыхнуло числовое выражение «4:39 = 0, ». Несколько мгновений оно висело в воздухе неподвижно, затем к запятой одна за другой пристроились цифры 1, 0, 2, 5, 6, 4. Секунда передышки – и к этим шести цифрам снова пристроились те же: 102564. И ещё раз. И ещё раз. Теперь над манежем висело длиннющее число 0,102564102564102564102564… Но вот оно погасло, и вместо него вспыхнули только первые шесть цифр, стоящие после запятой: это шестеро гимнастов выстроились на одной широкой трапеции. Грянула барабанная дробь, и трапеция поплыла по кругу. Сперва медленно, потом быстрей, быстрей. Вместе с ней закружились, замелькали цифры 102564, образуя одно нескончаемое число с повторяющимся числовым периодом. Наконец движение стало таким быстрым, что уже ничего не разобрать. Всё смешалось, слилось в одно светящееся кольцо…
И вдруг оно погасло. На несколько секунд цирк погрузился в полную тьму. А когда его залило светом, гимнасты были уже внизу, на манеже…
Этот номер тоже всем понравился. Но самое большое удовольствие всё-таки получил я. Уверяю вас! Ведь мне ещё не удалось рассказать девочке о периодических дробях. Теперь это сделали за меня воздушные гимнасты, да так, как мне и не снилось. Они только одно упустили: если бесконечную дробь изображают с помощью знака приближения, то периодическую – с помощью скобок. Вот так: 0,(102564). Но это уже мелочь. Незначительная деталь. И девочка ухватила её с лёту.
Следовало, однако, сделать ещё одно, на сей раз важное дополнение. Несмотря на то, что период периодической дроби повторяется бесконечно, сама она при этом остаётся числом конечным, иначе говоря, рациональным. Почему? Да потому, что может быть выражена обыкновенной дробью, в данном случае четырьмя тридцатьюдевятыми (4/39).
А обыкновенная дробь – число конечное. И потому периодические дроби к иррациональным числам не относятся.
Последним выступал всемирно известный маг-волшебник. Он сразу предупредил, что числовых чудес не показывает, поскольку ничего не смыслит в математике, зато виртуозно переливает из пустого в порожнее. После этого он трижды щёлкнул пальцами, и перед ним прямо из воздуха возникли три стеклянных шара.
– Перед вами три сосуда, – сказал маг. – В одном из них вода совершенно чёрная. Я взял её из Чёрного моря. В другом – красная: я взял её из Красного моря. Третий сосуд пуст. Беру первый сосуд, беру второй сосуд и переливаю из них воду в третий. Смешиваю, взбалтываю и… Вода из Чёрного моря и вода из Красного моря превратились в воду из Белого моря. Все убедились?
– Все, все! – кричали вокруг.
– Но человек никогда не бывает доволен, – продолжал фокусник. – Теперь у меня есть вода из Белого моря, а я опять хочу из Чёрного и Красного. Как быть? Оказывается, всё очень просто. Беру воду из Белого моря, разливаю её по пустым сосудам и… Перед вами снова вода из Чёрного моря и вода из Красного моря… Что ж, хорошо я переливаю из пустого в порожнее?
– Хорошо, хорошо! – кричали зрители, награждая мага щедрыми аплодисментами.
– В таком случае, – заявил он, – сейчас вы увидите, как я превращаю муху в слона.
И тут в воздухе перед ним зажужжала светящаяся муха.
Он стал водить перед ней своей волшебной палочкой, и она, послушная этому движению, то поднималась, то опускалась, то замирала на месте, а потом вдруг стала расти, расти, расти и… действительно превратилась в слона. В самого что ни на есть настоящего.
Цирк лопался от восторга. А маг, очень довольный, раскланялся на все стороны и объявил, что теперь ему остаётся только одно: протащить верблюда сквозь игольное ушко?. Правда, у него нет под рукой верблюда. Зато налицо слон…
И вот на глазах у изумлённой публики слон превратился в верблюда. Тогда маг снова щёлкнул пальцами, и в воздухе перед ним возникла игла, хоть и вовсе не маленькая, а с добрый метр. Это слегка удивило зрителей, и кто-то крикнул, что таких иголок не бывает.
– Так то? у людей, – возразил маг, – а верблюд как-никак побольше человека! Он большими иголками шьёт.
В публике, разумеется, хохот. А маг взял верблюда за хвост, вытянул хвост в нитку, слегка помусолил пальцами, чтобы сделать кончик потоньше, и стал вдевать верблюда в верблюжью иглу. И можете себе представить, это ему удавалось.
Уверяю вас!
В том месте, которое проходило через ушко, верблюд утончался, вытягивался в нить и тут же опять разбухал. Но самое невероятное, что входил он в иглу верблюдом, а выходил из неё слоном. Так что по обе стороны ушка находились разные животные. Одно постепенно исчезало, другое, напротив, росло, росло, пока не стало слоном окончательно.
Казалось, номер окончен: как говорится, дальше некуда! Цирк разразился ураганом рукоплесканий. Но тут-то и произошло самое неожиданное. Слон опять превратился в светящуюся муху. Муха взмыла вверх и скрылась из виду. А вслед за мухой под купол взвился сам волшебник и вылетел в трубу… виноват, в окошко, предусмотрительно проделанное в парусине.
В МУЗЕЕ ИМЕННЫХ ЧИСЕЛ
Мы вышли из цирка и снова заторопились во Дворец пионеров. Но едва мы очутились на следующей улице, как Пуся остановился у подъезда с табличкой: «Музей именных чисел».
В музее было прохладно и тихо. Со стен глядели на нас портреты учёных, чьи имена связаны с теми или иными числами или математическими понятиями. Здесь были математики всех времён и народов. Каждый из них оставил множество математических трудов. Конечно, не стоило и думать, что я смогу познакомить девочку со всеми. Нужно было отобрать одно-два имени, одну-две капли из этого безбрежного моря. Но какие?
На помощь мне неожиданно пришёл Главный терятель.
– Смотрите-ка, пифагоровы тройки! – сказал он, указав на табличку под изображением Пифагора.
– Как интересно! – заверещала девочка. – Ведь мне пока и на ослике прокатиться не удалось, а тут на тройке!
– Ну, на пифагоровых тройках вряд ли покатаешься, – усмехнулся я, – хотя уехать на них далеко можно. Так называют тройки чисел, связанных между собой простой зависимостью. Сумма квадратов двух из них равна квадрату третьего. К примеру: 32+42=52. Или: 52+122=132. Или: 202+212 =292. Таких числовых троек бесконечное множество, и они очень нужны в геометрии, потому что помогают строить прямоугольные треугольники.
Девочка спросила, нет ли у Пифагора таких числовых троек, где бы сумма кубов двух чисел равнялась кубу третьего? Пришлось сказать, что таких троек нет ни у Пифагора, ни вообще у кого бы то ни было. Нет их и для любых других степеней. Ни для четвёртой, ни для пятой… Ни для какой! В XVII веке это подметил французский математик Пьер Ферма? и, по его собственным словам, доказал, хотя доказательство его нигде не обнаружено. Вслед за Ферма то же пытались доказать многие, но безуспешно, несмотря на то, что справедливость этого утверждения, казалось бы, очевидна. И всё же оно вошло в историю математики под именем большой теоремы Ферма.
– Теорема Ферма, – повторила девочка. – Красиво! Но почему же большая? Разве есть ещё и малая?
– Представь себе, есть, – сказал я. – Вот она, под портретом знаменитого француза. Смысл её очень прост: если какое-нибудь натуральное число возвести в степень простого числа и вычесть затем основание, то разность всегда делится на это простое число, то есть на показатель степени.
– Если это и просто, то не для меня, – вздохнула девочка.
– На словах, – возразил я. – А на примере не так страшен чёрт, как его малюют. Возьмём число 4, возведём его в степень простого числа – ну, хотя бы в третью. Получим число 64 (43 = 64).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12