— Ну, конечно, — отвечал Крейг. — Теперь, я думаю, ты легко сможешь понять идею этого принципа. Помнишь задачи, которые ты предлагал мне раньше? Ну, например, найти число X, которое порождает повторение самого себя. Иначе говоря, мы искали некое число X, которое порождает 5(Х). Или, пытаясь найти некоторое число X, которое порождает свой собственный ассоциат, мы искали число X, порождающее число 3(Х). Далее в свою очередь вспомним, что число X, порождающее обращение числа X, есть число, которое порождает 4(Х). Вместе с тем все эти задачи представляют собой частные случаи одного общего принципа, который заключается в следующем: для любого операционного числа М должно существовать некое число X, которое порождает М(Х). Другими словами, для любой заданной операции F, которую может выполнять твоя машина, — то есть для любой операции F, описываемой определенным операционным числом, — должно существовать число X, которое порождает F(X).
Более того, — продолжал Крейг, — если задано какое-то операционное число М, то существует очень простой способ найти такое X, которое порождает М(Х). Зная этот общий способ, можно найти, например, число X, которое порождает 543(X), — то есть решить задачу нахождения числа X, порождающего повторение обращения ассоциата этого X; или найти такое X, которое порождает 354(Х), — то есть решить задачу нахождения числа, порождающего ассоциат повторения своего собственного обращения. Или, как я уже упоминал, можно найти такое X, которое порождает повторение обращения двойного ассоциата X, — другими слова ми, найти X, порождающее 5433 (X). Если не знаешь этого способа, то решать эти задачи оказывается крайне затруднительным, если же воспользоваться моим принципом — то это будут не задачи, а детские игрушки.
— Я — весь внимание, — сказал Мак-Каллох. — Но что же это за такой замечательный способ?
— Сейчас объясню, — ответил Крейг, — но сначала давай разберем поподробнее одно вполне элементарное обстоятельство, а именно: для любого операционного числа М и для любых чисел У и Z, если число У порождает число Z, то МУ порождает M(Z). Например если У порождает Z, то 3У порождает 3(Z), то есть ассоциат Z; 4 У порождает 4(Z); 5 У порождает 5(Z); 34 У порождает 34(Z) и т. д. Точно так же для любого операционного числа М, если У порождает Z, то МУ порождает М(Z). В частности, если такое У, порождающее Z, оказывается равным 2Z, тогда всегда справедливо утверждение, что M2Z порождает M(Z). Например, число 32Z порождает число 3(Z) — ассоциат Z; число 42Z порождает число 4(Z), то есть при любом операционном числе М число M2Z порождает число M(Z). Собственно говоря, мы даже могли бы определить M(Z) как число, порождаемое числом M2Z.
— Это все понятно, — сказал Мак-Каллох.
— Прекрасно, — сказал Крейг, — однако этот факт легко забывается, поэтому разреши мне повторить его еще раз, с тем чтобы он хорошенько отложился у тебя в голове. Итак, утверждение 1: для любого операционного числа М и для любых чисел У и Z, если число У порождает число Z, число МУ порождает число M(Z). В частности, число M2Z порождает число M(Z).
— Отсюда, — продолжал Крейг, — а также из того факта, который ты обнаружил для своей первой машины и который справедлив и для нынешней, очевидно следует, что для любого заданного операционного числа М должно существовать некое число X, порождающее М(Х), — то есть в данном случае число X порождает результат применения операции М к числу X. При этом, зная число М, такое X можно легко найти с помощью простого и вполне общего правила.

20. Итак, Крейг открыл важное правило, которое мы в дальнейшем будем называть принципом Крейга, а именно: для любого операционного числа М всегда существует некоторое число X, такое, что оно порождает М(Х). Как же доказать принцип Крейга и как при заданном числе М найти число X? Например, какое число X порождает 543 (Х)? Или какое число X порождает повторение обращения ассоциата X? Или, наконец, какое X порождает ассоциат повторения обращения X — то есть какое X порождает 354 (Х)

— Я приготовил для тебя еще несколько задачек, — сказал Мак-Каллох, — однако сегодня уже поздно. Оставайся-ка ночевать у меня. А завтра мы с тобой поговорим подробнее.
У Крейга как раз было несколько свободных дней, и поэтому он с удовольствием принял приглашение Мак-Каллоха.

Некоторые варианты принципа Крейга

Наутро после плотного завтрака — а хозяин оказался человеком очень гостеприимным — Мак-Каллох предложил Крейгу следующие задачи.

21. Найти число X, которое порождает число 7Х7Х.
22. Найти число X, которое порождает обращение числа 9Х.
23. Найти число X, которое порождает ассоциат числа 89х.

— Очень мило! — воскликнул Крейг, после того как покончил с решением последней задачи. — Ни одну из их задач нельзя решить с помощью того принципа, о котором я тебе рассказывал вчера.
— Вот именно! — рассмеялся Мак-Каллох.
— И все-таки, — возразил Крейг, — решение всех грех задач подчиняется некой общей идее: во-первых, конкретные числа 7, 5 и 89 не играют никакой роли; для любого данного числа А существует определенное число X, которое порождает повторение числа АХ, еще какое-то X порождает обращение АХ; наконец, есть X, порождающее ассоциат числа АХ. Кроме того, существует также некое число X, которое порождает повторение обращения числа АХ или, например, обращение ассоциата АХ. Фактически это означает, что для любого операционного числа М и для любого заданного числа А должно существовать некоторое число X, которое порождает М(АХ), то есть число, полученное в результате применения операции М к числу АХ.

24. Крейг, разумеется, был прав: для любого операционного числа М и для любого заданного числа А должно найтись некоторое число X, которое порождает число М(АХ). Будем называть это правило вторым принципом Крейга. Как же доказать этот принцип? И как при заданном операционном числе М и заданном А найти в явном виде такое число X, которое порождает М(АХ)?

25. — Мне только что пришел в голову еще один вопрос, — сказал Мак-Каллох. — Пусть для любого числа X величина X обозначает обращение этого X. Можешь ли ты найти такое число X, которое порождает Х67? (Иначе, существует ли такое число X, которое порождает обращение числа X, за которым следует число 67?) В общем виде этот вопрос можно сформулировать так: действительно ли для любого числа А существует некоторое число X, которое порождает ХА?

26. — Мне в голову пришел еще один вопрос, — сказал Мак-Каллох. — Существует ли такое число X, которое порождает повторение числа Х67? Или, в более общем виде: действительно ли для любого числа А существует такое число X, которое порождает повторение числа ХА? Или, если задать вопрос в еще более общем виде: действительно ли для любого числа А и для любого операционного числа М должно существовать некоторое число X, которое порождает м(ХА)?

Обсуждение

Принцип Крейга справедлив не только для второй машины Мак-Каллоха, но и для первой — а в сущности и для любой машины, в которую заложены правила 1 и 2. Это означает, что, как бы мы ни расширяли первую машину Мак-Каллоха, вводя в нее новые правила, работа результирующего устройства все равно будет подчиняться принципу Крейга (а фактически обоим его принципам).
Первый принцип Крейга связан с одним из знаменитых результатов теории вычислимых функций, известным под названием теоремы о рекурсии (или, как ее иногда называют, теоремы о неподвижной точке). С помощью правил 1 и 2, предложенных Мак-Каллохом, этот результат получается, пожалуй, наиболее простым способом. Кроме того, эти правила обладают еще одним занятным свойством (связанным уже с другим знаменитым результатом теории вычислимых функций, известным под названием теоремы о двойной рекурсии), о котором пойдет речь в следующей главе. Наконец, все эти сведения имеют отношение к теории самовоспроизводящихся машин и теории клонирования.

Решения

1. — С помощью твоей теперешней машины можно получить бесконечное множество чисел, которые порождают сами себя, — сказал Крейг.
— Это верно, — согласился Мак-Каллох. — Но как ты это докажешь?
— Начнем с того, — сказал Крейг, — что будем называть некое число SA числом, если оно обладает тем свойством, что для любых чисел X и У в случае, если X порождает V, число SX порождает ассоциат У. До того как ты ввел свое новое правило, единственным А-числом у нас было число 3. Однако для твоей нынешней машины существует бесконечное множество А-чисел, причем для любого А-числа S число S2S обязательно должно порождать само себя, поскольку число S2S порождает ассоциат числа S, который и есть S2S.
А как ты догадался, что существует бесконечное множество А-чисел? — спросил Мак-Каллох.
Ну, во-первых, — ответил Крейг, — надеюсь, ты не будешь возражать, что при любых числах X и У, если число X порождает У, то число 44Х будет также порождать У?
— Удачное наблюдение! — воскликнул Мак-Каллох. — Конечно, ты прав: ведь если X порождает У, то число 4Х порождает обращение числа У, а значит, число 44 X должно порождать обращение обращения У — то есть само это число У.
— Прекрасно, — продолжал Крейг. — Таким образом, если X порождает У, то число 44Х будет тоже порождать У, и поэтому число 344Х будет порождать ассоциат числа У. Значит, 344 тоже представляет собой А-число. А раз 344 — это А-число, то число 3442344 должно также порождать само себя!
— Замечательно, — сказал Мак-Каллох, — теперь у нас есть уже два числа — 323 и 3442344, которые порождают сами себя. Но разве это позволяет нам сделать вывод о бесконечном множестве таких чисел?
— Видишь ли, — сказал Крейг, — если число S является А-числом, то А-числом должно быть также и число S44, поскольку для любых чисел X и У, если X порождает У, то число 44Х тоже порождает У, а значит, число S44X порождает ассоциат У, поскольку S по условию есть А-число. Таким образом, А-числами являются такие числа, как 3, 344, 34444, и вообще А-числом является любое число, состоящее из тройки, за которой следует любое четное число четверок. Итак, число 323 порождает само себя; то же самое можно сказать о числах 3442344, 34444234444 и т. д. Следовательно, мы действительно имеем бесконечное множество решений.
— Но, между прочим, — добавил Крейг, — ведь существуют и другие решения. Например, числа 443 и 44443 тоже представляют собой А-числа. А-числом является также любое число, состоящее из четного числа четверок, тройки и опять четного числа четверок, как, например, число 4434444,— ведь для любого такого числа S число S2S порождает самое себя.
2. Одно из решений — это число 43243. В самом деле, поскольку число 243 порождает 43, то число 3243 порождает ассоциат числа 43. Значит, число 43243 должно порождать обращение ассоциата числа 43, другими словами, обращение числа 43243 (поскольку число 43243 — это ассоциат числа 43). Итак, число 43243 порождает обращение самого себя.
Здесь читатель может поинтересоваться, а как же все-таки было найдено само число 43243. Может, с помощью сравнения соответствующих относительных длин? Нет, для доказательства свойств, относящихся к нынешней машине, метод сравнения относительных длин оказывается слишком громоздким. Как будет показано в конце этой главы, решение было найдено именно с помощью принципа Крейга.
3. Одним из решений является число 3432343. Мы предоставляем читателю самому найти число, порождаемое числом 3432343, и убедиться, что оно действительно представляет собой ассоциат обращения числа 3432343. (Это решение также было найдено с помощью принципа Крейга.)
4. Подходит, например, число 53253. (Оно получено опять же с помощью принципа Крейга.)
5. Одно из решений — число 4532453.
6. Другое решение — это число 5432543.
7. Решение очевидно — в том, конечно, случае, если нам известно, что некое число порождает само себя. При этом если X порождает X, то ясно, что 5Х порождает повторение X. Так, например, число 5323 порождает повторение числа 323.
8. Одно из решений — число 5332533. (Опять принцип Крейга!)
9. Одно из решений — число 3532353; оно тоже найдено с помощью принципа Крейга. (Надеюсь, я заинтриговал читателя этим принципом!)
10. 5(5) = 55. [Так как 5(5) — это повторение числа 5.] Поэтому возьмем число 5 в качестве М и число 5 в качестве X. (Ведь я не утверждал, что М и X должны быть разными числами.)
11. 4(4) = 4. [Поскольку 4(4) — это обращение числа 4, которое также равно 4.] Таким образом, М = 4 является одним из решений. (Фактически в качестве решения подойдет любая цепочка четверок.)
12. Возьмем М=3 и А=2. [3(2)=222].
13. 4(6)=6, а 6=4+2, поэтому 4(6)=4+2. Итак, М=4, а Х=2.
14. Одно из решений: М=55, Х=55.
15. Одно из решений: М=4, N=44.
16. Одно из решений: М=5, N=55.
17. Одно из решений: М=5, N=4.
18. Одно из решений: М=3, N=5.
19. Одно из решений: М=55, N=45.
20. Пусть М—любое операционное число. Мы знаем (утверждение 1), что в случае любых чисел Y и Z, если У порождает Z, MY порождает M(Z). Поэтому (принимая MY в качестве Z), если У порождает MY, то MY должно порождать M(MY). Таким образом, если вы брать МУ в качестве X, то число X будет порождать
М(Х). Итак, наша задача сводится к нахождению такого числа У, которое порождает МУ. Но эта задача уже была решена в предыдущей главе (с помощью закона Мак-Каллоха): надо просто взять в качестве У число 32МЗ. Итак, за X мы принимаем число М32МЗ, причем это X будет порождать М(Х). Проверим полученный результат: в самом деле, пусть Х=М32МЗ. Но поскольку число 2МЗ порождает число МЗ, то число 32МЗ порождает число М32МЗ (согласно правилу 2), и, следовательно, число М32МЗ будет порождать М(М32МЗ). Таким образом, действительно X порождает М(Х), где X—число М32МЗ.
Рассмотрим теперь некоторые приложения. Для того чтобы найти некое число X, порождающее повторение X, примем 5 в качестве М; тогда сразу получаем решение (а точнее, одно из решений) — число 53253. Для того чтобы найти число X, порождающее обращение самого себя, положим М = 4; тогда X есть число 43243. Для того чтобы найти число X, которое порождало бы ассоциат обращения X, выберем в качестве М число 34;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28