И вот точная формулировка доказательства составляла, так сказать, следующий уровень точности для аксиоматического метода. И вторая вещь - это язык. Дело в том, что обыденный язык, он не просто двусмыслен, он многосмыслен. Я обычно на лекциях привожу в пример слово «радикал». Есть радикальные партии, есть свободные радикалы в химии и есть, как говорится, радикалы - корень квадратный, который в школе учат. Но если говорить о контекстах, то там многозначность языка становится бесконечной. Но без этого поэзия была бы невозможна, если бы язык, на котором мы разговаривали, имел только один смысл. Но для математики, для науки, стремящейся к точности, это достоинство естественного языка является недостатком. Поэтому другая вещь, которая была нужна, - это создание достаточно богатых формальных языков.
Дело в том, что математика довольно давно начала вводить элементы формального языка - различные обозначения, переменные, знаки для операций, знаки для того же радикала, и так далее. И многие имеют впечатления о математике как о формулах, вот формулы - это элементы формального языка. Но тем не менее, если вы посмотрите даже современные математические журналы, то кроме формул там ещё и довольно большой текст. И математическая логика предложила такие формальные языки, которые включают не только оперативные элементы математики, но и всё содержание математическое может быть изложено на формальном языке. Этим достигался ещё один уровень точности, что поимело, между прочим, любопытные последствия.
Сейчас говорить о влиянии компьютеров на нашу жизнь, это общее место. Понятно, что они завоёвывают всё большее и большее место в нашей жизни. Но если посмотреть, какие люди были у истоков создания первых компьютеров, то мы там увидим Норберта Винера, Алана Тьюринга, ещё ряд людей, я потом, может быть, их назову. Эти люди были математиками, которые начинали свою профессиональную деятельность в области математической логики. Норберт Винер был студентом Бертрана Рассела, известного английского философа, но он был и одним из создателей первых формальных систем. Алан Тьюринг тоже был профессиональный логик. И я думаю, что это осознание, что формальные языки могут быть столь же богаты по выразительным возможностям, как и естественный язык, но точными, с точным и однозначным смыслом, - это позволило им предвидеть, что компьютер - это не есть просто большой арифмометр, а что он может стать, как говорится, интеллектуальным орудием. Так что опыт работы людей в математической логике привёл и к таким, я бы сказал, «сайд-эффектам», как создание компьютеров.
Ну а с точки зрения внутреннего развития, то я уже сказал, что можно считать, что математическая логика на две ступеньки подняла точность математического языка по сравнению с классическим аксиоматическим методом. Но история продолжается. И обнаружились и другие любопытные вещи. Мой учитель, академик Анатолий Иванович Мальцев сделал, на мой взгляд, два очень глубоких открытия, о которых я попытаюсь рассказать, но не в деталях, поскольку это довольно сложно.
Сначала хочу объяснить то удивление, которое, в частности, я испытал (используя некоторый образ, который может быть не совсем корректен в таких научных беседах, но по-другому я не сумею, видимо, объяснить то удивление, а может быть восхищение, которое лично я испытал). Представьте, что какая-то фирма вынуждена создать себе охрану. И вдруг оказывается, что созданная охрана является весьма мощным производителем, то есть даёт удивительный эффект для основной производственной деятельности.
Ну а теперь вернёмся к математике. Так вот, я уже объяснил, что математическая логика была создана как некоторое охранное предприятие. Охрана от противоречий. Как для нынешних фирм система охраны необходима, так и математика нуждалась в определённом охранении. Но казалось бы, ну что тут такого? Но вот оказалось, что языки, в частности один из языков математической логики, так называемое «исчисление предикатов первой ступени», обладает некоторым мощным внутренним математическим свойством. Анатолий Иванович Мальцев в 36 году доказал так называемую Теорему компактности. Не буду говорить, что это такое, но это, так сказать, мощное внутреннее свойство формального языка. А в 41 году Анатолий Иванович продемонстрировал, что только с помощью этого свойства языка можно доказать очень многие теоремы, которые уже в специализированных отделах математики доказывались - так называемые локальные теоремы, причём, разные теоремы разными способами. Они чем-то были похожи, но кроме ощущения того, что они похожи, ничего другого не было.
Оказалось, что большинство из этих локальных теорем - это есть следствие этой локальной теоремы. Что достаточно сформулировать на этом формальном языке соответствующее утверждение с некоторыми ограничениями, и тогда уже как следствие получается эта локальная теорема. Вот здесь я хотел бы сослаться на книгу Пойя - это известный американский учёный, но на самом деле он из Венгрии происходит. Пойя написал книгу, которая у нас была переведена, «Как решать задачу?», она была издана в «Учпедгизе». И там, собственно, рассказывается некоторая эвристика и даются некоторые советы, как решать задачу, как анализировать и так далее. И там, в частности, описываются разные явления, которые при этом возникают. И одно из явлений называется «парадокс изобретателя». Там особенно про изобретателя не идёт речи, но суть состоит в следующем: иногда, решая задачу, полезно взглянуть на неё, может быть, сверху и рассмотреть более общую задачу. И при таком взгляде она становится проще. Я считаю, что открытие локальной теоремы и открытие способа её применения для доказательства серьёзных теорем, которые уже были известны и очень многих новых теорем, это был парадокс изобретателя.
Оказалось, что суть большинства этих локальных теорем - это свойство того формального языка, который используется. Ну, дальше - больше. Теорема компактности привела к созданию одного из наиболее развитых разделов математической логики - так называемой «теории моделей». И здесь прослеживается, на мой взгляд, довольно любопытная эволюция, которую я попытаюсь как-то объяснить. Я для себя использую деление «современная математика» и «классическая математика», достаточно понятное различие. Можно про любую науку сказать - современная и классическая. Но на самом деле, что такое классическая математика и что такое современная? Классическая математика занималась очень ограниченным числом объектов - линия, плоскость, фигуры на плоскости, трехмерное пространство, далее непрерывные функции в трехмерном пространстве. Этим классическая математика занималась многие века.
Современная математика началась, я думаю, с открытия Эвариста Галуа, который для решения классических вопросов о нахождении корней уравнения в радикалах, о которых я уже здесь говорил, предложил ввести некоторые новые вещи. Не те классические объекты, а автоморфизм и конечные группы и так далее. Для решения классических вопросов нужно было ввести новые сущности. И вот с этого, на мой взгляд, начинается современная математика. Но и сейчас изучение классических объектов можно отнести к работам по классической математике. Но необходимо и изучение тех новых конструкций, которые нужны и для внутреннего развития математики, и для решения старых вопросов. Вот знаменитая теорема Ферма, которую несколько столетий пытались решать математики, она была, наконец, решена несколько лет тому назад. Но для её решения, а она была сформулирована в 17-м веке, понадобились совершенно современные методы. И это потребовало нескольких столетий развития математики. Так что существуют классические вопросы и классическая математика и есть современная математика, когда изучаются уже объекты более общей природы.
Так вот первые применения Локальной теоремы, которые Анатолий Иванович делал, касались современной математики. Они относились к теории групп, к теории алгебраических систем, к таким понятиям, которые характеризуют современную математику. Хрущовский применил методы математической логики для совершенно классического раздела математики - для теории чисел и алгебраической геометрии. Это такие как бы священные коровы, которым молятся. И оказалось, что даже для решения таких серьёзных, вернее, классических вопросов, методы теории моделей, математической логики, тоже применимы. А ещё один этап, тут я хочу говорить о своих собственных последних работах, связан со следующим. Тут небольшое отступление всё-таки требуется.
Развитие всякой науки, в том числе и математики, сопровождается не только постановками задач и их решениями, но и развитием понятийного аппарата, ведением понятий. Причём, ведение правильных понятий на самом деле является очень существенным, и часто введение плодотворного понятия является столь продуктивным, что вызывает взрывную реакцию и проникновение понимания в существо вещей. Так вот, мне удалось применить математическую логику и её средства для того, чтобы ввести в обиход понятия, которые важны для классических теорий. Итак, Мальцев применил математическую логику для современной математики, Хрущовский для решения вопросов классической математики, а я предложил некоторые понятия для классической математики, в том числе и для теории чисел. То есть один из наиболее таких развитых разделов для теории чисел, а теория чисел - это одна из самых первых математических теорий.
В конце 19 - начале 20 века была доказана так называемая «теория полей классов». Не буду говорить, что это такое, но до решения проблемы Ферма считалось, что это вершина в теории чисел. И те понятия, которые вводились для формулировки этой теории, они обладали определёнными недостатками, так скажем. А техника математической логики позволила предложить понятия, которые могут быть использованы вместо тех понятий и, на мой взгляд, более глубоко проникнуть в существо вопроса. Боюсь, что вдаваться в детали здесь всё равно сложно. Я просто хотел этот ряд подчеркнуть: логика, начав с того, что продемонстрировала свою мощь в современной математике, потом оказалась применимой и для решения классических вопросов, а сейчас начинает покушаться и на понятийный аппарат классической математики. Так что это одна из линий развития. Есть и другие.
Я уже упомянул о том, что создание математической логики послужило, в частности, важным элементом в развитии компьютеров, и там есть свои формальные языки, языки программирования, и так далее, и так далее. Эта линия тоже сама по себе развивается и весьма успешно, и там возникают очень интересные, в том числе математические вопросы. Так что математическая логика, ещё раз говорю, возникнув как некоторый охранительный механизм, неожиданно, на самом деле неожиданно, оказалась весьма и весьма мощным орудием, которое применимо практически во всех разделах математики.
Для слушателей или зрителей нашей программы, может, я чересчур увлёкся, уйдя внутрь математики, может быть, полезно вернуться к теореме Гёделя о неполноте, о которой я говорил, что она волнует и философов, и, может быть, часть обычных людей. Есть такое представление, что она демонстрирует ограничения человеческого разума, и так далее, и так далее. Если на это взглянуть изнутри математики, то на самом деле там особых тайн нет, это очень похоже на такие парадоксы, уже не относящиеся к математике, как «парадокс лжеца», который демонстрирует следующее. Обычно люди считают, что каждое высказывание можно каким-то правдоподобным образом оценить, является оно истинным или ложным. Конечно, можно накладывать определённые условия и так далее, но можно оценить, вернее, можно придать истинностное значение - истинное или ложное это высказывание. Но ещё со времён греков известен «парадокс лжеца». Один критянин говорит: «все критяне - лжецы». Что соответствовало исторической легенде, по крайней мере. Простодушная попытка оценить, истинно это высказывание или нет, показывает, что не всё так просто. Если он сказал правду, значит, он критянин и сказал правду. Хорошо, а если он обманул, тогда приходим к другому противоречию.
И теорема Гёделя, во всяком случае, её доказательство, используя определённые находки, довольно любопытные технические находки, в некотором смысле моделирует этот парадокс. У Гильберта, которого я уже упоминал, была уверенность, что можно создать такую систему аксиом для всей математики, из которой будут следовать все математические утверждения. Это такая вера была. И он предложил программу формализации математики. А Гёдель, собственно, его опроверг. Он показал, что если аксиоматическая система достаточно богата, то в ней обязательно можно сформулировать утверждение, которое не может быть доказано, но которое будет верным. А в основе этого лежит следующее, что и для этого требуется не весь язык математики, а язык, который говорит просто о натуральных числах, 0, 1, 2, 3, о сложении и умножении. Язык достаточно ограниченный. Но если использовать такой способ, который называется нумерация, то есть если занумеровать все формальные выражения с помощью чисел (а эти утверждения формального языка сами говорят о числах), то можно говорить о самих себя. Проблема самоприменимости кодируется, используя нумерации. То есть сам подход математически был весьма оригинальным, а дальше уже само рассуждение и приведение к противоречию получается достаточно просто.
А.Г. Если позволите, два вопроса, поскольку у нас не так много времени осталось. Первый касается как раз теоремы Ферма. Все ли доказательства равноценны? Потому что ведь Ферма наверняка имел в виду некое другое доказательство собственной теоремы, а не то, которое получил американец, если не ошибаюсь…
Ю.Е. Эндрю Уайлс.
А.Г. …Эндрю Уайлс 300 лет спустя. И таким образом, можно ли считать теорему Ферма доказанной? Это первый вопрос.
Ю.Е. Безусловно, так, как эта теорема сформулирована, в таком виде Уайлс её и доказал.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36