Круг может представлять как принцип рационального целого числа в своем диаметре, так и иррациональную функцию в своей окружности. Квадрат и его диагональ также дают похожий феномен. Например, диагональ квадрата со стороной, равной одной единице, равна корню квадратному из 2 (рис. 33).

Термин «корень» в выражении «корень квадратный» имеет древнее происхождение и под разумевает понятие, взятое из природы. Корень растения спрятан, но порождает и питает то, что на поверхности.
Точно так же скрыты и корни квадратных чисел, и все они подразумеваются в них. Например, корень квадратный из 16 равен 4 (4Ч4=16). Корень же квадратный из 15 представляет собой иррациональное число, которое не так легко вычислить. Извлечение квадратных корней было главным занятием древних математиков. Когда же корень квадратный какого-либо числа нельзя было изобразить в цифрах, его всегда можно было воспроизвести геометрически. Этим и объясняется власть геометрии в античном мире. Геометрия считалась воротами в высшие сферы человеческого сознания, и поэтому ее принципы стали включаться в культовое искусство и архитектуру. Отталкиваясь от пропорций священного искусства и архитектуры, мы получаем концепцию священной геометрии, которую, пожалуй, лучше всего определить как геометрию, скрытую в религиозных постройках и духовных формах.

Круг, треугольник и квадрат

Легче других геометрических форм изобразить круг. Для этого достаточно циркуля или шнурка, колышка и маркера. Два взаимосвязанных круга можно получить, передвинув кончик циркуля на окружность первого круга и нарисовав второй равного размера. В образовавшейся весике могут быть получены три самых важных «корня»(√2, √3 и √5) (рис. 31).

Если принять радиус кругов за 1, тогда корень квадратный из двух (√2) может быть получен из диагонали квадрата, образованного линией между двумя центрами и двумя перпендикулярными к ней радиусами. Корень квадратный из трех (√3) образуется линией, соединяющей две точки пересечения кругов весики. Корень квадратный из пяти (√5) дает диагональ прямоугольника со сторонами 2 и 1. Этот прямоугольник можно использовать для обнаружения золотой пропорции (см. рис 35, на рис. 36, 37 и 38 показаны другие способы получения золотой пропорции). Позже мы увидим, что весика и пря моугольник со сторонами 2 и 1 служили ключом к получению древних единиц измерения.
Треугольник рассматривался как переходная форма между квадратом и кругом. Со временем он стал изображать триаду богов и богинь, обычно – как в Египте – отца, мать и сына. Эта концепция служит центральным стержнем многих религиозных систем и проявляет себя в христианстве в виде Бога Отца, Сына и Святого духа.


Идеальным считался равносторонний треугольник, в котором равны все стороны и углы. Широко использовался и другой треугольник, обычно приписываемый Пифагору, но явно существовавший задолго до него. Этот треугольник имеет стороны, выраженные целыми числами 3: 4: 5. Он является простейшим вариантом прямоугольного треугольника (90°) со сторонами, выражаемыми целыми числами. Благодаря простым отношениям чисел его использовали в топографии, а также в искусстве и скульптуре. На нем основана пирамида Хафры.
Круг, треугольник, квадрат и прямоугольник образуют основу культовой архитектуры. Они традиционно были связаны друг с другом особыми пропорциями. Последние призваны были отобразить собственную гармонию космоса.

Одна такая пропорция – «гномон» была определена Аристотелем следующим образом: «Любая фигура, которая, будучи добавленной к исконной фигуре, дает в результате фигуру, подобную исконной». Иными словами, сохраняются соотношения между всеми дополнительными шагами. Примером этого служит золотое сечение, которое может быть выражено числами 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 23 и т д., где отношения между любыми двумя соседними числами быстро сходятся в одной точке по мере движения по ряду. Ряд Фибоначчи является самым известным примером гномонического отношения, но есть и другие.


Рис. 39. Гномоничесжие спирали, построенные из отношения квадрата 2:1

В своей книге «Священная геометрия» Роберт Лолор приводит примеры «гномонических» спиралей, подобных основанной на ряде Фибоначчи, полученной из отношения 1:2. Эти расширяющиеся схемы иногда называют «завихренными квадратами», поскольку они дают спирали, которые часто встречаются в природе (рис. 39).
Изучая «гномоны» с разными отношениями, я сделал важное открытие «Гномон», основанный на отношении 1:3, имеет непосредственное отношение к пирамидам Гизы. Получается, что из этого отношения могут быть получены основные пропорции пирамид Хуфу, Хафры и Менкаура (рис. 40). Все начинается с трех квадратов, соединенных в линию и образующих прямоугольник со сторонами 3 и 1. Затем чертится квадрат на длинной стороне на каждом этапе увеличения.
Первый квадрат образует прямоугольник с отношением сторон 3:4. При его удвоении получается отношение пирамиды Хафры – 6:4. При добавлении еще двух последовательных квадратов к прямоугольнику 3:4 получаем отношение пирамиды Хуфу – 7:11. Еще один добавленный квадрат дает пропорции пирамиды Менкаура – 11:18. Этот прием добавления квадратов к прямоугольнику 3:1 драматическим образом обнаруживает, что пирамиды отражают естественную математическую прогрессию в отношениях их высоты к основанию. Так или иначе, но они связаны гармоничным геометрическим рядом.

Что примечательного могло быть в отношении 3:1? Может быть, оно отражало символизм египетской троицы – Осириса, Исиды и Гора. Возможно, мы никогда этого не узнаем наверняка, но этот рисунок позволяет нам лучше понять методы египтян.
Это открытие согласуется с тем, что нам известно о египетских методах проектирования, которые, похоже, всегда основывались на схемах квадратной сетки. В египетском искусстве имеются многочисленные примеры, показывающие, что художники и скульпторы сначала рисовали сетку на стене, которую предстояло расписать или вырезать, для того чтобы сохранить установленные пропорции. Простые числовые отношения этих сеток служат сердцевиной всех великих художественных произведений египтян.
Тот же метод использовался многими художниками Возрождения, в том числе и Леонардо да Винчи. В Древнем Египте это нашло своевоплощение в Великой пирамиде, что и подкрепляется ее тесной связью с узором на Марлборо-Даунс.

С помощью круга и сетки

На Марлборо-Даунс размещены два взаимосвязанных круга, каждый диаметром в 19,3 километра (12 миль). В данном случае круги не образуют подлинный узор весики и поэтому не имеют явного отношения к известным геометрическим фигурам.
Как мне предстояло со временем открыть, размещение этих кругов не было произвольным, а подчинялось особому отношению, найденному в Великой пирамиде Хуфу. При наложении поперечного сечения Великой пирамиды на карту (рис. 21) обнаруживается геометрическое объяснение линейного построения галерей, ходов и камер пирамиды, в частности, ориентации Большой галереи пирамиды на центр одного из кругов.
Это позволяло объяснить местоположение и размеры всех внутренних камер и галерей Великой пирамиды на языке чистой геометрии и открывало волнующую перспективу. Для разгадки этой тайны необходимо было вы яснить, как египтяне могли прийти к проекту Великой пирамиды с помощью чистой геометрии прежде, чем приспособить его к сетке 7:11.
В рисунке Марлборо-Даунс ключом служил равносторонний треугольник. Взяв его за основу, свойственную пирамиде Хуфу, геометрию можно показать с помощью рисунков 41-46. Такой поэтапный чертеж фиксирует местоположение всех камер и ходов Великой пирамиды.
Однако чистая геометрия создает иррациональные пропорции. Установив базовую структуру, дальше следовало превратить ее в такую форму, которую можно было бы выразить рациональными или целыми числами. В этом заключается большая ценность сетки. При ее наложении на геометрию могут быть считаны точные измерения. Можно сделать вывод, что именно так была спроектирована Великая пирамида, поскольку чистая геометрия должна была дать угол склона чуть меньше, чем мы видим на практике.
При использовании сетки с точной пропорцией 7:11 все аккуратно становится на место и достигается идеальный компромисс между чистой геометрией и ее гармоничным выражением в мире формы.
Наложение сетки 7:11 на пирамиду показывает, что камера Царя расположена на два квадрата (на 2/7 ее высоты) выше уровня земли, а камера Царицы – на один квадрат выше уровня земли, то есть на 1/7 высоты пирамиды (рис. 47). Вход в пирамиду, на мой взгляд, был рассчитан на основе поделенного пополам квадранта первого квадрата в том месте, где он пересекает сторону пирамиды.


Углы наклона восходящего и нисходящего ходов равны 26є31'23». На первый взгляд, он кажется весьма странным, но на самом деле является простым градиентом, образованным отношением 2:1. Иными словами, ход поднимается на один квадрат при горизонтальном перемещении на каждые два квадрата, образуя диагональ прямоугольника с отношением сторон 2:1. Его можно было легко построить, и его, без сомнения, использовали благодаря месту этого прямоугольника в священной геометрии, в частности, в получении золотого сечения.
Если прибегнуть к этим методам, то можно показать, что все внутренние ходы и покои основаны на простых геометрических пропорциях, хотя так называемые вентиляционные шахты не совсем совпадают с этой схемой.
Это наводит на мысль о том, что они были созданы с астрономическими целями, как это и предположили Бьювэл и Джилберт в «Тайне Ориона».
Как только были установлены первичные параметры сетки, не составило труда соорудить угловые шаблоны, которые обеспечивали с помощью отвеса высокую точность градиентов различных ходов.

Комплекс Гизы

Египтологи постоянно твердили, что в размещении пирамид на плато Гиза нет единого плана. Не понимаю, как они умудрились прийти к такому выводу. Достаточно приложить известные принципы древнеегипетской системы мер к плато Гиза, чтобы понять лежащую в его основе схему. Египтяне использовали именно сетчатую систему. Мне оставалось лишь найти сетку, которая наилучшим образом соответствовала бы комплексу Гизы.
Ключом являются местоположение и размеры Великой пирамиды, которые – как мы уже показали – находятся в выраженной целыми числами пропорции с размерами Земли. В качестве единицы измерения при сооружении Великой пирамиды использовался царский локоть. Каждая ее сторона имеет 440 царских локтей в длину.



Конфигурация сетки из квадратов со стороной в 220 царских локтей, равной половине длины стороны пирамиды, при наложении на плато Гиза немедленно устанавливает положение пирамид Хафры и Менкаура, а также Сфинкса (рис. 48).
Эта простая композиция сохраняет яркие числовые отношения, найденные в пропорциях каждой пирамиды. Она сразу же объясняет, почему пирамида Хафры находится вне линии в своем диагональном соотношении с Великой пирамидой, и это особо подчеркивали Бьювэл и Джилберт в «Тайне Ориона» как свидетельство связи пирамид с Поясом Ориона.
Сейчас можно показать, что южный и восточный края пирамиды Хафры четко вписываются в сетку Смещение диагонали возникает только потому, что она была пост роена с несколько меньшим планом основания, чем Великая пирамида. Пирамида Хафры имеет основанием квадрат со стороной в 412,5 локтя, то есть почти ровно 15/16 размера Великой пирамиды. Больше того, две линии сетки, определяющие положение пирамиды Хафры, находятся в пропорции золотого сечения с большим квадратом сетки, который заключает в себе все три пирамиды.
Грудь и лицо Сфинкса находятся на расстоянии ровно двух квадратов к востоку от восточного края Великой пирамиды, а его грудь и левая передняя лапа приходятся на дугу золотого сечения, проведенную из северо-восточного угла пирамиды (см. рис. 48). Северный край пирамиды Менкаура соответствует сетке, а ее положение восток-запад определяется тем, что ее центр приходится на линии сетки север-юг. Местоположение этих памятников, несомненно, указывает на последовательность композиции всего комплекса Гизы.
Меня также поразило число 220 царских локтей, составляющее сторону основного квадрата сетки. Я был воспитан на стандартных английских единицах измерений и знал, что 220 ярдов составляют один фарлонг. Восемь фарлонгов составляют одну милю, а восемь квадратов сетки равны половине минуты экваториальной широты. И я стал задаваться вопросом, не связаны ли между собой эти древние системы мер и пропорций.

Новое посещение Гизы

В феврале 1996 года я вернулся в Египет, чтобы опробовать свои гипотезы относительно конфигурации сетки. Посещения объектов – как я узнал – всегда очень важны, ибо позволяют обнаружить течерты, которые не легко заметить на картах. Юго-восточный угол является ключевым для положения пирамиды Хафры. Я обнаружил, что он расположен на возвышенности, с которой открывается прекрасный вид на пирамиды Хафры и Менкаура, хотя вид восточного края Великой пирамиды блокируется холмом. Но он не составил бы непреодолимого препятствия, либо его легко можно было бы преодолеть с помощью топографических реек.
Желание проанализировать структуру пирамид Гизы с помощью математики и геометрии возникло при рассмотрении конфигурации ландшафта в Марлборо-Даунс. Идея использовать сетку пришла к нам от древнеегипетских художников и скульпторов. Она согласуется с известными единицами измерения в комплексе Гизы, ее было просто сформулировать, и нет убедительных причин сомневаться в том, что строители пирамид пользовались ею как архитектурным и конструктивным методом.
Настало время выяснить, прольет ли что-либо из узнанного мной в Египте дополнительный свет на конфигурацию Марлборо-Даунс.

Сетка Марлборо-Даунс

Обнаружив, что сетка 7:11 точно подходит к Великой пирамиде, я применил ее к Марлборо-Даунс.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32