Рис. 22.

Его можно разрешить лишь волевым усилием. Надо включить новый персонаж в число либо положительных, либо отрицательных примеров. В реалии разбиение чего-либо на классы (в наших случаях на два класса) вытекает из каких-то прагматических требований. Например, все люди, отнесенные к положительным примерам, относятся к зверюшке доброжелательно. Их не нужно опасаться. А люди, относимые к группе отрицательных примеров, таковы, что лучше обойти их стороной. От них ждать добра не приходится. Тогда волевое отнесение нового персонажа к той или иной категории должно получить практическое подтверждение своей правильности или неправильности. Если встреча с ним для зверюшки окажется благоприятной, то его, конечно, надо относить к положительным примерам. В противном случае его место среди отрицательных примеров.
Мы продемонстрировали весьма важное положение, связанное с процессом индуктивного обобщения. Если h и h’ классифицируют множества положительных и отрицательных примеров, так что h =
h’ , то появление новых примеров не ставит систему в тупик. Она всегда куда-то отнесет новый случай, т. е, при выполнении указанного равенства система обладает полнотой классификации. Конечно, может оказаться, что эта классификация не является правильной. Ведь она построена по неполному множеству представителей положительного и отрицательного классов.
Пусть, например, мы снова имеем классификацию, которая соответствует ситуациям, показанным на рис. 21. Но контрольный пример поступает в систему с указанием, что он относится к группе отрицательных примеров. А система в соответствии с ранее построенной классификацией относит его к положительному классу. В таком случае необходимо внести коррективы в классификацию, полученную ранее, выработать новую классификацию с учетом нового множества отрицательных примеров.
Вывод из этого только один. Поскольку множества положительных и отрицательных примеров не охватывают всех возможных случаев, то h и h’ , построенные по методам Милля, даже в тех случаях, когда h =
h’ не могут быть абсолютно точными. Эти утверждения могут быть приняты лишь с некоторой оценкой истинности Q (h ) (соответственно Q (h’ )). Но прежде чем описать, как эти оценки вычисляются, рассмотрим еще один метод правдоподобных рассуждений.
Рассуждения по аналогии
Начнем с задачи. Посмотрим на первую строку, показанную на рис. 23. В этой строке представлено преобразование F , с помощью которого пара слов, стоящая слева от стрелки, преобразуется в слово, стоящее от нее справа. Можно ли угадать, во что превратится пара слов, стоящих во второй строке на этом рисунке, если считать, что преобразование F’ максимально похоже на преобразование F ? Для ответа на этот вопрос надо сначала понять, какова суть F . После недолгого размышления можно прийти к выводу, что слово, получаемое в результате преобразования, устроено следующим образом: первая его половина совпадает с первой половиной первого слова в исходной паре, а вторая его половина получается из первой половины второго слова в исходной паре, если в ней сделать перестановку букв. Если мы верим, что F именно таково (еще раз обратим внимание на этот постулат веры), то можно попытаться придать F’ тот же смысл. Тогда вместо знака вопроса в правой части второй строки можно написать результат преобразования. Им будет слово «плен». Если считать, что F’’ – преобразование, аналогичное F и F’ , то вполне законным будет получение правой части по паре левых и в третьей строке на этом рисунке.

Рис. 23.

Какой смысл мы вложили в слово «аналогичное», когда говорили о преобразованиях? По крайней мере, двоякий. Во-первых, мы предположили, что элементы, из которых состоят слова и рисунки, как-то соответствуют друг другу. Например, елочки и фигурки из третьей строки ассоциируются у нас с буквами, из которых состоят слова, а буквы важны не сами по себе, а по тому месту, которое они занимают в словах. Во-вторых, мы предполагаем, что сохраняется суть преобразования, хотя элементы, с которыми преобразование оперирует, могут быть другими.
Эти соображения помогают уловить расплывчатый смысл, вкладываемый людьми в понятие аналогии. На рис. 24 показано три преобразования для треугольника Т . Преобразование
можно назвать обобщением. При переходе от треугольника к многоугольнику наследуются только те геометрические свойства, которые верны для любых многоугольников. Сам треугольник по отношению к множеству многоугольников представляет некоторую конкретизацию. На рис. 24 преобразованием конкретизации служит
, переводящее произвольный треугольник в его частный вид – прямоугольный треугольник. А вот преобразование
можно назвать преобразованием по аналогии. Треугольная пирамида сохраняет многие свойства треугольника, но является не плоской, а объемной фигурой.

Рис. 24.

Первая попытка формализовать понятие рассуждения по аналогии была предпринята Лейбницем. В своем сочинении «Фрагменты логики» он ввел понятие пропорции для отношения аналогии. Пропорция Лейбница формулируется следующим образом: «Вещь А так относится к вещи В , как вещь А’ к вещи В’ ». Обычно пропорцию Лейбница представляют в виде диаграммы:

Для иллюстрации того, как может быть использована диаграмма Лейбница, рассмотрим семантическое пространство Осгуда . Это пространство, которое американский психолог Чарльз Осгуд строил экспериментально, проводя опыты с людьми, должно было, по его мнению, характеризовать организацию размещения информации в памяти человека. Мы не будем здесь останавливаться на способе его построения. В комментарии к данному разделу имеется некоторая информация по этому вопросу, а в библиографии заинтересовавшиеся читатели могут найти нужные работы. Скажем только, что упрощенное пространство Осгуда является обычным трехмерным евклидовым пространством. Близость по метрике этого пространства характеризует семантическую близость понятий, фактов и утверждений, а рассуждения, проведенные в пространстве относительно группы элементов, могут проецироваться по аналогии на группы, состоящие из семантически близких элементов.
Проиллюстрируем эту мысль, взяв «кусок» пространства Осгуда, относящийся к понятиям, используемым для указания родства. То, что они в семантическом пространстве расположены компактно, было доказано экспериментально. Этот «кусок» пространства Осгуда показан на рис. 25. Для удобства введена система координат и сделано такое преобразование, чтобы все точки, соответствующие интересующим нас понятиям, оказались лежащими в вершинах единичного куба (правомочность такого преобразования в пространстве Осгуда мы тут не обсуждаем).

Рис. 25.

Пусть даны три элемента пропорции Лейбница А , А’ и В . И необходимо узнать элемент В’ . Для рассматриваемого примера примем следующий способ нахождения координат понятия В’ : b’i =bi +а’i –аi где i =1,2,3. Пусть, например, нас интересует пропорция Сын:Дочь=Дядя:? Для определения неизвестного члена пропорции произведем необходимые вычисления, используя координаты понятий, отмеченные на рис. 25. Получим b’ 1=0+1–0=1; b’ 2=1+0–0=1; b’ 3=0+1–0=1. Таким образом, понятие В’ имеет координаты (1,1,1). Этим координатам соответствует понятие «Тетя».
Для дальнейшего необходимо уточнить понятия «похожесть» и «аналогия», использованные в диаграмме для пропорции Лейбница, и придать им по возможности строгий смысл. Сделать это можно следующим образом. Выберем некоторый алгебраический язык для описания A и В , который обозначим
1 и некоторый (вообще говоря, другой) алгебраический язык для описания А’ и В’ , который обозначим
2. Переход от A к В и от A’ к B’ будем интерпретировать как преобразование соответствующих описаний в языках
1 и
2. Поскольку выбранные языки являются алгебраическими, то в них выделены элементы и операции, определённые над этими элементами. Учитывая дальнейший пример, будем считать, что в качестве элементов языков
1 и
2 выступают некоторые изображения или их совокупности, связанные отношениями из заданного набора двуместных отношений. А операции состоят в том, что над элементами можно совершать различные геометрические преобразования, определяемые их движениями. Это приводит к изменению отношений между элементами, входящими в анализируемые совокупности.
Чтобы все сказанное стало понятнее, рассмотрим конкретный пример. На рис. 26 показана серия изображений, соответствующая пропорции Лейбница, в которой, как всегда, надо восстановить недостающее звено, т.е. осуществить (если это возможно) вывод по аналогии. Для описания изображений введем языки
1 и
2. В языке
1 в качестве элементов возьмем изображение солнца s , и человечка m . В качестве отношений будем рассматривать отношения R 1 – «быть слева вверху» и R 2 – «быть справа вверху». Тогда ситуация А может быть описана как sR 1m . В качестве операций в
1 будем использовать перестановку объектов относительно друг друга O 1 и вращение на 180° по часовой стрелке O 2. Тогда преобразование F можно описать как O 1(s ,m ); O 2(m ). В результате этого возникает ситуация B , описание которой в языке
1 выглядит как sR 2(O 2(m )).

Рис. 26.

Введем теперь элементы языка
2. Это луна l и фантастическое животное q . В качестве отношений, используемых в
2, возьмем снова отношения R 1 и R 2, а в качестве операций
2 сохраним операции O 1 и O 2 языка
1. Описание А’ выглядит следующим образом: lR 1q . Для получения описания В’ установим между А и А’ отношение взаимно однозначного соответствия H , например, так, что имеют место взаимно однозначные соответствия s
l и m
q . Тогда sR 1m
lR 1q и А
А’ . Преобразование F’ в наших предположениях совпадает с F . Значит, В и В’ должны находиться также во взаимно однозначном соответствии. Но В есть sR 2(O 2(m )). Учитывая соответствие между элементами
1 и
2, выводим описание для В’ :lR 2(O 2(q )).
Рассмотренная процедура носит общий характер. Можно строго доказать, что если в пропорции Лейбница А , А’ и В описаны с помощью алгебраического языка, использующего лишь двуместные отношения, задан характер преобразований F и установлено взаимно однозначное соответствие между
1 и
2, то описание В’ также возможно на языке
2 и существуют взаимно однозначные соответствия F
F’ и В
В’ , так что, применяя к А преобразование F и к А’ преобразование F’ , получаем В и В’ , такие, что В
В’ .
Заметим, что из этого утверждения вытекает, что необходимым условием для возможности рассуждений по аналогии с использованием пропорции Лейбница служит требование коммутативности ее диаграммы. Требование коммутативности диаграммы означает, что описание В’ , полученное из A с помощью F и взаимно однозначного соответствия H’ , ничем не отличается от описания В’ , полученного из A с помощью взаимно однозначного соответствия H и последующего применения к этому результату преобразования F’ . С требованием коммутативности диаграмм мы еще столкнемся в последующих разделах этой главы.
Несмотря на все сказанное, полное описание модели рассуждений по аналогии всё еще не получено, так как пропорция Лейбница явно не исчерпывает всех случаев рассуждений подобного типа. Да и в случае, когда мы имеем дело действительно с пропорцией Лейбница, остаются нерешенными по крайней мере два вопроса: как построить языки
1 и
2 и как установить взаимно однозначное соответствие между ними. Возможные в этом случае трудности иллюстрирует рис. 27. На этом рисунке показаны ситуации А и А’ . Ситуация А может быть описана следующим текстом: «Ромео любит Джульетту. Джульетта любит Ромео (на рис. 27 это отношение R 1). Ромео мужчина (R 2). Он итальянец (R 3). Джульетта женщина (R 4). Она красива (R 5). Она не замужем (R 6)». Ситуация А’ может быть описана следующим текстом: «Тристан любит Изольду. Изольда любит Тристана (R 1). Тристан мужчина (R 2). Он бретонец (R *2). Изольда женщина (R 4). Она красива (R 5). Она замужем (R *6). Ее муж – король Марк (R 7)».

Рис. 27.

Готовы ли мы признать описанные две ситуации аналогичными? И должен ли Тристан действовать так же, как Ромео? Из соответствующих литературных произведений мы знаем, что развитие ситуации А было таково, что оно привело к совместной смерти Ромео и Джульетты. А Тристан и Изольда имели другую судьбу. Почему это произошло? И можно было бы это формально установить в процессе сравнения ситуаций А и А’ ? Ведь во второй ситуации имелся король Марк, а различное число отношений заведомо не позволяло установить взаимно однозначное отношение между их описаниями. Но может быть вместо изоморфизма (т.е. взаимно однозначного отношения) для
1 и
2 достаточно какого-нибудь гомоморфизма?
Этот вопрос пока остается без ответа. Поэтому ограничимся лишь тем, что для рассуждений по аналогии можно считать твердо установленным. В следующем разделе попытаемся объединить то, что нам уже известно об индуктивном методе Милля и рассуждениях по аналогии.
ДСМ-метод
Сокращение ДСМ, вынесенное в название метода, означает Джон Стюарт Милль. Оно показывает, что метод поиска закономерностей по множествам положительных и отрицательных примеров, к описанию которого мы переходим, опирается на методы индукции, предложенные этим ученым. Их реализация в виде комплекса действующих программ на ЭВМ выполнена современными исследователями.
Введем три множества: причин А ={а 1,а 2,…,аp }, следствий B ={b 1,b 2,…,b m } и оценок Q ={q 1,q 2,…,ql }. Выражение вида аi
bj ; qk будем называть положительной гипотезой . Оно связано с утверждением типа «аi является причиной bj , с оценкой достоверности qk ». Выражение вида аi
bj ;qk будем называть отрицательной гипотезой . Оно связано с утверждением типа «аi не является причиной bj , с оценкой достоверности qk ». Для сокращения записи положительные гипотезы будем обозначать hi +j k , а отрицательные – h i -j k . Среди значений q i выделим два специальных, которые можно обозначить 0 и 1. Значение 0, приписанное положительной или отрицательной гипотезе, означает, что соответствующее утверждение является ложным.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26