В этом трудность получения термоядерного синтеза. Плазма страшно нестабильна, плазменный шнур должен находиться точно в центре и не касаться стенок. Так вот, эти нелинейные вещи в принципе можно увидеть глазами математики. Если бы мы научились это делать, мы бы сделали потрясающий шаг вперед, потому что математика стоит очень мало. Мой добрый друг Анатолий Моисеевич Вершик из Петербурга подсчитал, что стоимость одного танка выше, чем содержание всей российской математики в течение года. Теперь представляете, вложить в математику 10 танков, и мы бы научились решать нелинейные дифференциальные уравнения.
А.Г. Но есть прямо пропорциональная зависимость между количеством денег, которые в математику идут, и качеством.
А.В. Нет, нужно еще людей подбирать. Но у нас люди пока есть, а денег пока нет.
Вот как обстоят дела с нелинейными уравнениями. Здесь я выйду за пределы математики и займусь социальными вопросами, касающимися математики. Простейшие соображения показывают, что будь все так, как хотелось бы, мы бы сейчас, скажем, не имели бы энергетических проблем. Так вот, несмотря на это, и другие суперважные вещи математики ХХ века почти не занимались нелинейными дифференциальными уравнениями. Причина в том, что мода такова была.
В математике были предложены простые методы, я их только назову за недостатком времени - это методы функционального анализа, с помощью которых решают линейные уравнения. И там был достигнут большой прогресс. Но эти методы просто ни в какую дверь не влезают, когда нужно заниматься нелинейными уравнениями. Поэтому этими методами ничего нелинейного не было решено. Но под влиянием моды и авторитета таких людей, как Гильберт, Джон фон Нойман, эти методы были объявлены математической основой квантовой механики. Это примерно то же самое, что влияние Аристотеля на развитие физики - прошла тысяча лет, и только потом кое-как Галилею удалось сдвинуть дело с мертвой точки. Ситуация в квантовой физике просто точно такая же. Эти линейные методы являются сегодня тормозом развития как нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, так и квантовой физики. И настоящие физики это чувствуют. Дирак, который был физиком и видел физику вне тех или иных математических формализаций, однажды произнес замечательные слова: «Взаимодействия в квантовой теории поля настолько сильны, что они вышибают вектор состояния из гильбертова пространства в минимально короткое время». Хотя, может быть, только специалисты могут понять силу иронии, заключенной в этих словах. Гильбертово пространство - это база всех методов, которые основаны на авторитете Гильберта, Джон фон Ноймана и многих других великих математиков. Но тут всегда есть обратная сторона.
Это - коротко про нелинейные дифференциальные уравнения. Суть проблем, которые возникают в нелинейных дифференциальных уравнениях и в квантовой физике, с точки зрения такой языковой философии различна. Мы твердо знаем, что нелинейные дифференциальные уравнения мы можем изучить, развив язык классического дифференциального уравнения. А вот с квантовой физикой дело обстоит, по-видимому, гораздо более серьезно.
Но и на общем уровне, если вы прониклись такой философией языка, это понять легко. Механика, то есть физика ХVII века, родилась вместе со своим языком, дифференциальным исчислением. Тут трудно сказать, где курица, где яйцо, они тащили друг друга - язык, математика и физика (в те годы механика). А потом случилась такая вещь: физиками были открыты квантовые явления. И физики, а потом математики пытались их понять. Когда человек пытается что-то понять, он использует свой язык. Математики и физики стали глядеть по сторонам: какую математику тут можно использовать?
И, в частности, сам Джон фон Нойман поглядел-поглядел по сторонам и обратил внимание, что модно и, в общем, довольно элегантно математически использовать язык гильбертовых пространств (это такая «линеаризация»). Я могу на простом языке объяснить, что значит гильбертово пространство для решений линейных дифференциальных уравнений. Это точный аналог большевистского или нацистского лагеря. В принципе, всякое решение нелинейного дифференциального уравнения - сугубо индивидуально. Разные течения воды, например, имеют невидимую математическую структуру, скажем, они обладают конформной метрикой. Может быть, вы слышали этот термин в передачах, связанных с общей теорией относительности. Но это очень трудно заметить и не все это видят. А решения линейных уравнений в этом смысле все одинаковы. Там нет индивидуальности. Поэтому им можно дать «лагерный номер» - это называется «нормой» в математике. И все. В этом ужас ситуации: как все концлагеря одинаковы, так и, как математики говорят, все гильбертовы пространства изоморфны. И поэтому если пытаться «по Гильберту» описывать воду или плазму, такие разные вещи, то получится один и тот же концлагерь. Это простое обращение к повседневной жизни показывает, почему язык гильбертовых пространств, линейных топологических пространств, здесь никак не годится. Нужен новый язык.
Спрашивается, как и где этот язык искать. Я сейчас сделаю шокирующее заявление, но потом попячусь назад. Я вам должен сказать, что сейчас социальная ситуация в мире математики такова, что профессора математики и, прежде всего, те, которые занимаются дифференциальными уравнениями, на самом деле не знают, что это такое. И не потому что они глупые - я хочу сказать другое, я хочу подчеркнуть социо-культурный аспект ситуации. Доказать же это очень просто. Если есть студенты, которые смотрят эту передачу, то любой из них может подойти к своему профессору и спросить: а что такое симметрии дифференциального уравнения? Некоторые профессора вообще не ответят, некоторые скажут: это, как в алгебре, замена переменных, которые не меняют форму уравнения. Этот ответ неправильный. И тогда студент может позвонить в вашу редакцию, и таким образом можно провести некий социальный опрос.
Почему это доказывает, что математики не знают, что такое дифференциальное уравнение? Когда вы имеете четкое представление о каком-то объекте, то… Например, вот круг, он симметричен относительно этого диаметра или этого другого диаметра. А кроме того, его можно вращать, это тоже симметрия. Значит, если вы ясно видите объект, то ясно представляете, каковы его симметрии, то есть такие преобразования, которые его как бы накладывают на себя. Если вы повернете круг, вы не заметите, что что-то изменилось. Вот вы посмотрите на круг, потом отойдете, а я его поверну. Когда вы вернетесь, вы не заметите, что что-то произошло. Это идея симметрии, которая сейчас очень широко используется в физике. В частности, если рассматривать две элементарные частицы, нельзя сказать - где Маша, а где Таня, они близнецы, которых нельзя различить.
Такова ситуация в математике, таково влияние моды, которое нужно преодолевать.
Я хочу сейчас перескочить к квантовой физике, раз уж мы стали об этом говорить. Итак, мы подозреваем, что нужен новый язык. Но как его отыскать? Природа нам тихим голосом дает наводящие указания - и математика тоже. Если мы себе признаемся честно: «я не знаю, что такое дифференциальное уравнение», значит, нужно КОНЦЕПТУАЛЬНО определить, что это такое, и нужны какие-то критерии того, что я действительно это знаю. Например, если я точно знаю что такое дифференциальное уравнение, то я могу точно сказать, что такое его симметрии.
Я раньше вам показал не дифференциальные уравнения, а их запись, как бы их паспорта. Паспорт расскажет бюрократу много полезных вещей, но сути владельца он не раскроет. И точно так же, по этой записи вы мало что узнаете о дифференциальных уравнениях. Но вернемся к языку. Если вы спросите обычного математика, я имею в виду не специалиста по дифференциальным уравнениям, какие он знает дифференциальные уравнения, то нормальный математик вам скажет, что уравнения бывают (я немножко огрубляю) эллиптические, гиперболические и параболические. И больше ничего. Это тоже показывает, что на самом деле мы не знаем, что такое дифференциальное уравнение. И понять это можно, попытавшись нарисовать его портрет.
Когда мы изучаем алгебру, мы рисуем графики функций. Скажем, геометрический образ уравнения «икс квадрат плюс игрек квадрат равняется единице» есть окружность. Это то, чему учат в старших классах школы. Это соответствие между алгеброй и геометрией можно использовать в двух направлениях - можно с помощью алгебры выводить свойства геометрических фигур и, наоборот, глядя на геометрический образ, понять, как решить алгебраическую проблему. Например, великую теорему Ферма, которая столько шума наделала, именно так и решили - создали, это был длительный процесс, геометрию, которая позволяла придти к решению.
Так вот, сейчас мы знаем, как найти геометрический портрет (аналогичный портрету алгебраического уравнения) уравнения в частных производных. Это вещь, которую я не могу попробовать здесь описать. Это нечто нестандартно бесконечномерное, и даже некоторые математики перед этим образом теряют психологическое равновесие. Сейчас даже идет полемика. Некоторые считают, что все это нужно рассматривать на конечном уровне, не на бесконечном. Но это пройдет, потому что это уже позволило решить ряд очень важных задач.
И вот когда мы увидели этот бесконечномерный объект, мы увидели там особое дифференциальное исчисление. Этот объект, если воспользоваться современным языком, - со многими «прибабахами», и эти «прибабахи» называются геометрическими структурами. Стандартное дифференциальное исчисление, которое уважает эти структуры, это - ВТОРИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. И что меня радует - это то, что новый язык для квантовой теории поля родился сам собой, естественно. Это вторичное дифференциальное исчисление очень хорошо вписывается в проблематику квантовой теории поля.
Например, траектория вторичного векторного поля, это не обычная кривая, а такая, которая удовлетворяет «принципу неопределенности». Она, вообще говоря, не существует, существует виртуально. Но когда мы ее загоним в ящик, как говорят физики, тогда она станет вполне определенной.
Кроме того, в последние годы были наблюдены поразительные совпадения. Физики пытались своими методами прояснить некоторые темные места квантовой теории поля. Мы же размышляли над «дурацкой проблемой» о том, что такое дифференциальные уравнения. Потом совершенно независимо обнаружили, что результаты физиков - это элементы уже «нашей» готовой теории. Мы даже и не думали, что это как-то связано с квантовой физикой. Речь идет, я скажу специалистам, об «антиполях», о «духах» и т.п. Кстати, это научный термин - «дух», ghost. Этот термин сами физики выдумали, в физике есть другие мистические слова - аномалия, перенормировка и так далее. Они указывают на то, что сам этот язык ненормален. Это на самом деле, я бы сказал так, полублатной язык. Физикам просто уже не хватает слов, чтобы объяснить происходящее.
Я сейчас абсолютно уверен, что ВТОРИЧНОЕ дифференциальное уравнение превратит квантовую физику в точную науку в том же смысле, каковой является классическая физика, благодаря языку «первичных» дифференциальных уравнений.
Вот, пожалуй, главное, что я хотел сказать. И еще хочу отметить, что вторичное дифференциальное уравнение - это язык очень интересный. Покажите мне, пожалуйста, картинку 12. Что общего у квантовой теории поля с этой картинкой? Сейчас я вам расскажу, что такое алгебраическая топология. Алгебраическая топология, если сказать попросту, это «исчисление дыр». На этом рисунке между точками А и B есть нульмерная дыра. Чтобы соединить точки А и B вы должны построить одномерный мост. При этом можно исчислять дырки. Вы мост переходите в одном направлении, поэтому дыра, как говорят математики, ориентирована. На этом чертеже показано, как можно складывать дырки. Если вы дырку А-B сложите с дыркой B-С - получите дырку С-А. Это теория нульмерных дырок.
Пожалуйста, следующий слайд. На этом торе я поясню вам теорию одномерных дырок. На верхнем торе вы видите две одномерных дырки. У одной край - красная линия, у другой - зеленая линия. Почему это дырка? Потому что, скажем, красный контур вы не можете стянуть в точку, двигаясь только по поверхности тора. Дырки можно складывать. Что значит, прибавить красную дырку саму к себе? Это значит два раза обойти ее в нужном направлении. А если вы возьмете трехкратную красную дырку и двукратную зеленую и сложите их, получится красивый трилистник на поверхности тора.
Так вот, бывают дырки двумерные, n-мерные, любой размерности. Это называется гомологиями. А функции на дырках являются когомологиями. Топологическую форму тела, если не принимать во внимание ее метрические размеры, можно довольно точно описать, сказав, какие дырки имеются и какой размерности. Этими данными можно описать топологию многомерной поверхности или, как мы говорим, многообразия.
А теперь давайте перейдем к нелинейным дифференциальным уравнениям и квантовой физике. Так вот, функции на дырках называются когомологиями. И если вы возьмете пластинку из какого-то металла и начнете ее сгибать, вы можете себе представить, что там образуются инфинитезимальные дырки. В зависимости от материала эти инфинитезимальные дырки будут разной формы, и они, эти дырки, описываются когомологиями типа Спенсера. Язык вторичного дифференциального исчисления когомологичен: он исчисляет эти инфинитезимальные дырки. Тут есть чему удивиться: элементарные частицы и исчисление бесконечно малых дыр!?
Теперь представьте себе, что я вам это рассказал, и вы что-то почувствовали. И теперь на этой базе мы начнем развивать точную науку? Не получится. Нужна все-таки очень аккуратная формализация. Нужно создать язык, сделать из него исчисление. Замечательно, что если мы будем рассматривать один аспект проблемы, получится язык для нелинейных уравнений. А если другой, так сказать, «социальный» аспект - это будет квантовая физика.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33