Поэтому я хочу заострить внимание именно на этом аспекте.
Кроме того что математика - это точный язык, это еще и искусство рассуждать на этом языке. Если сравнивать с литературой, то сначала, когда создается новый математический язык, создатели этого языка говорят очень грубые фразы. Потом они начинают что-то рифмовать, потом пишут поэмы и так далее. Все происходит, как в литературе. И можно даже сопоставить такое развитие с приходом в русскую литературу сначала Тредиаковского, потом Ломоносова, потом Пушкина и так далее. Этапы развития русского языка, как любого натурального языка, и математики похожи.
А.Г. Но это сомнительное сравнение, потому что получается, если следовать этой логике, что сегодня мы должны писать лучше, чем писал Пушкин на том же самом языке, чего мы не наблюдаем.
А.В. Это точное замечание, но язык науки проще, и он совершенствуется за счет создания новых языков и за счет обогащения, если сравнивать с литературой, лексического материала. На самом деле, я бы сказал, в науке красота возрастает. Может быть, это ее отличие от литературы.
Был такой замечательный современный философ Людвиг Витгенштейн, один из последних крупных философов, у него есть замечательная максима: «Пределы моего мира суть пределы моего языка». То есть то, что человек может понять в этом мире, формулируется на его языке. Если вы хотите понять китайца и не говорите по-китайски, вы не можете до конца понять, что такое китайская душа - и так далее. Все это применимо и к математике. Вот еще замечательное высказывание: когда Бродского спрашивали, испытывает ли он ностальгию, он говорил: «Родина - это язык».
Итак, математика - точный язык. Но научные языки - не обязательно математические. Скажем, язык химии не такой точный, он довольно приблизителен, поэтому химик, когда рассуждает о своих соединениях, он то рассуждает логически в пределах этого языка, то обращается к каким-то внеязыковым вещам, для этого ему служит эксперимент. В физике это происходит в меньшей степени, в биологии - в большей. Что такое понимание, когда нарастает понимание? Когда данная область математизируется. Полное понимание - это когда область полностью математизирована, тогда мы знаем всю правду.
Давайте начнем с попыток человечества понять правду. Вспомним еще раз Библию. Помните, когда у людей разум стал достаточно сильным, они стали смотреть, что вокруг, и решили построить Вавилонскую башню, чтобы увидеть Бога, и проект составили на своем логическом языке. Увидев это, Бог решил, что нужно остановить эти попытки, и что он сделал? Он разделил языки. Но на этом игра не остановилась. Люди сначала были в замешательстве, потом стали думать, «а что же делать дальше?», потому что бес все время точил: «а что такое? где Бог?» и многие другие вопросы. И люди создали новый язык. Как вы думаете, как этот язык называется?
А.Г. Математика?
А.В. Замечательно, я к этому и клонил. Но на этом партия опять не закончилась. Люди достигли многого в математике, например, в греческие времена. Это поразительно, но они вычислили радиус Земли, довольно точно измерили расстояние до Солнца. Известны и другие более-менее выдающиеся научные открытия, которые были сделаны потом. И Бог время от времени говорил: «хватит». И он разделял языки уже внутри математики. В общем, вот такая партия.
А.Г. Аналогия понятна.
А.В. Сначала единый язык, потом, когда человек становится слишком дерзким, происходит это расползание языков, и потом непонятно, что делать. В общем, это очень интересный процесс.
Что же происходит, когда языки расползаются, когда точность теряется? Начинает рождаться метафизика. Скажем, человек - еще достаточно первобытный человек - на языке обычной логики пытается понять мир. Он что-то знает твердо о мире вокруг себя. Когда он хочет понять, например, устройство окружающего мира, то в терминах своего языка говорит: «это черепаха», поскольку мир ему кажется плоским. На чем же держится черепаха? Если человек живет на берегу океана, он, оглядываясь вокруг, решает, что эта черепаха, наверное, плавает в океане - это первая космогоническая гипотеза. Это метафизика, потому что здесь теория выходит за пределы языка, язык становится неточным. И то же самое происходит в науке. Но там метафизика, уже не так заметна невооруженному глазу, глазу неспециалиста, она как бы скрыта специальной терминологией, она уже формулируется, если угодно, в терминах дифференциального исчисления, если говорить о таком высоком языке…
А.Г. Появляется уже жреческий язык.
А.В. Да, да. Это всегда тормозит некое идеально мыслимое развитие науки. Поэтому всегда нужно иметь это в виду. Например, известна крылатая фраза Ньютона: «Гипотез не измышляю». По-видимому, он обращался к Гуку, который на самом деле открыл формулу закона всемирного тяготения. Многие думают, что это открыл Ньютон, это Гук сделал, физик. Он сердцем, по-видимому, почувствовал, а Ньютон это доказал, объяснив на этой основе, почему планеты именно так, а не иначе вокруг Солнца вращаются. Он составил первое дифференциальное уравнение, решил его и этим доказал, то есть, он точно это установил. У Гука это была интуиция или наитие, неизвестно что. Ньютон же это доказал. И он говорил: «гипотез я не выдумываю», то есть, не иду за пределы моего языка.
Я бы хотел здесь остановиться и просто сказать, каковы два источника, из которых вылезает разная метафизика. В сфере точного естествознания, грубо говоря, есть два таких мощных источника - это теория нелинейных процессов, которые в принципе можно описать в терминах классического дифференциального исчисления, и квантовая физика. На самом деле эти две вещи связаны, и я попытаюсь это объяснить.
Прежде чем этим заняться, посмотрим на историю математики. Там были две великих революции - если рассматривать математику как язык. Ведь на самом деле математики были долгое время неграмотными, то есть они не имели своей собственной письменности, их языком (я, конечно, очень огрубляю) была греческая геометрия. Чертежи там были чем-то вроде иероглифов, математик, Геометр смотрел на них и учился понимать. В греческих книгах содержалось не доказательство в современном смысле, а было написано «смотри». Человек должен был смотреть и уловить, скажем, теорему Пифагора.
Письменность математики, как это было и в обычной человеческой истории, была изобретена гораздо позже, это изобретение было связано с многими именами, но выделяется здесь Франсуа Виет. Это была письменность вроде той, которой мы в школе учимся, когда пишем алгебраические уравнения «икс квадрат плюс игрек» и тому подобное - это простейшая письменность в математике. Потом она, конечно, была развита.
Эта математическая письменность, в общем-то, адаптирована к четырем арифметическим операциям. Данная цивилизация в этом смысле - арифметическая, или лучше сказать алгебраическая, эта ветвь математической цивилизации сейчас называется коммутативной алгеброй. Но в этих терминах вы не можете, скажем, математически выразить, что такое скорость, например, или что такое касательная к кривой - и много других вещей. Написать тогда алгебраическими методами уравнение касательной было крупной математической работой. Сейчас это, конечно, вызывает улыбку.
Под давлением таких обстоятельств был изобретен новый язык - язык дифференциального исчисления. Это связано с именами Ньютона и Лейбница, хотя на самом деле это длинный период в истории математики. Они как альпинисты, которые достигли пика благодаря усилиям целой команды. Так вот, это была другая революция. То есть на основе дифференциального исчисления произошла глобальная, снизу доверху, перестройка математики.
Вы знаете, что я обнаружил у Толстого в одном из его ранних изданий «Войны и мира»? Я обожаю читать его философские рассуждения. И я нашел более-менее следующее. Там обсуждается, что Милорадович сделал такое передвижение, Мюрат опоздал, что-то в таком духе, и поэтому русские, дескать, выиграли кампанию. И Толстой рассуждает и показывает, что обычной повседневной логикой этот процесс нельзя описать, и пишет дальше, что «тут нужно знать законы, математики для описания этих законов и создали специальный язык исчисления бесконечно малых, инфинитезимальных величин». К сожалению, эта фраза была только в одном из первых изданий, в нынешних ее нет.
А.Г. Софья Андреевна не поняла и заставила выкинуть, как это бывало у них в семье…
А.В. Может быть, эта гипотеза мне не приходила в голову. Это удивительно, какие бывают гениальные люди, которые, наверное, хорошо учили математику.
Итак, последний язык - это язык дифференциального исчисления. Этот язык - родной язык классической физики. Все, что написано в классической физике, это дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения бывают линейные и нелинейные, я сейчас постараюсь это пояснить. Например, свет описывается уравнениями Максвелла, они линейные, это соответствует тому, что световые волны могут накладываться друг на друга - есть принцип суперпозиции. А если вы будете пускать свет в какой-нибудь сложной среде, например, как говорят, «с памятью», там такого эффекта не будет, там будут аномальные с точки зрения поведения света в вакууме, эффекты. Это означает, что уравнения, которые описывает свет в такой среде - нелинейные.
Я хочу объяснить, что такое нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных. Дайте, пожалуйста, четвертую картинку. Вы видите, там три кривых, я пока напоминаю, что такое обыкновенная производная. Синяя кривая - это график некоторой функции. Производная - это очень просто, это крутизна графика. Крутизна - переменна, и поэтому это другая функция. Скорость синего графика - это красный график. Этот процесс можно продолжить. Возьмем скорость и посмотрим скорость скорости. Скорость красного графика - это зеленый график. Это - просто напоминание, что такое производная.
Теперь давайте к следующей картинке перейдем. Это график функции двух переменных. Вы видите там линии, которые идут справа налево, и линии, которые им перпендикулярны. И еще вы видите оси икс и игрек. Линии, которые идут слева направо, идут в направлении оси икс, линии другого семейства - в направлении оси игрек.
Что такое частная производная по икс? Это крутизна линий, которые идут справа налево. Частная производная по игрек - это крутизна линий, которые идут в перпендикулярном направлении. На рисунке показано, как эти производные обозначаются. Если функция Y, то производная по икс - это Y с индексом икс. По игрек - с индексом игрек. Если мы снова будем считать производные у этих функций, то будет Yх, и так далее. Простое понятие, согласитесь, если неформально его объяснить. И классическая природа описывается в терминах уравнений, которые связывают между собой частные производные.
Пожалуйста, следующий слайд. Сверху написано линейное уравнение. Почему оно линейное, как это из записи увидеть? Видите, там только суммы. Следующее уравнение - очень знаменито, оно наделало много шума за последние 25-30 лет. Это уравнение Кортевега - де Фриза. О чем оно говорит? Вот то, что написано Y по t, это то, как изменяется со временем функция Y. А закон этого изменения функции стоит в левой части. Видите, там комбинация производных. И в одном месте вы видите умножение: Y умножается на Y по икс. Это нелинейный член, то, что разрушает принцип суперпозиции, который есть в первом уравнении. Так это можно увидеть по математической записи. Вы верите в чудеса?
А.Г. Нет.
А.В. Я тоже нет, но тут есть чему удивиться. Первый повод, для того чтобы удивиться. Это уравнение описывает, с одной стороны, поведение воды в узком канале, а с другой стороны, реактивной струи, вылетающей из самолетов Аэрофлота. И с третьей стороны, как бегут электрические сигналы по нашим нервам. Подумайте, с помощью обычного языка мы могли бы это «увидеть»? Оказывается, мы можем это увидеть с помощью математики. Мы начнем ковыряться в явлении с помощью физиологов или физиков, напишем уравнение и увидим, что… Так что мы можем моделировать «нервы» водой в канале или рассчитывать самолеты с помощью «нервов». В общем, это - чудо в некотором смысле. Мы потеряли способность удивляться, но таким вещам нужно удивляться.
Уравнение, которое написано посредине, это первое нелинейное уравнение, которое было до конца проинтегрировано. Я здесь немножко огрубляю, но будем считать, что это - первое нелинейное дифференциальное уравнение, которое полностью проинтегрировано. Такие уравнения называются вполне интегрируемыми. Это был очень большой прорыв в математике, люди обрадовались, что они наконец могут осилить кое-какие нелинейные уравнения. Но если вы это уравнение чуть-чуть измените… Внизу показан пример, как можно изменить это уравнение. Оно тоже нелинейное, тоже на вид очень простенькое, почти не отличается от первого на вид, но оно уже не интегрируемое. И, в общем-то, мы по-настоящему не знаем, как изучать его решения. Кое-что мы можем сказать, но, в общем, здесь больше мрака, чем света.
Теперь давайте посмотрим на следующее уравнение. Видите, там сверху написано уравнение плазмы внутри установки «ТОКАМАК», где пытались и пытаются осуществить термоядерный синтез. Видите, насколько оно сложнее, чем те, которые были написаны раньше. Тем не менее, кое-что мы, используя некоторые новые методы, можем о нем узнать. На картинке вы видите плазменный жгут внутри «ТОКАМАКа». Его нельзя увидеть ни глазами, ни с помощью самых точных физических приборов, но математически его можно увидеть.
Покажите, пожалуйста, следующие слайды. Это срезы плазменных жгутов. Посмотрите, какие они красивые и разнообразные по форме. Они показывают, что плазма неустойчива. Вот решение с двумя лепестками, а вот с тремя. Если вы чуть-чуть измените некие параметры, например, как ток бежит по катушке, вы получите картинку с тремя лепестками. Это, как говорится, легким мановением пальца можно сделать, поскольку здесь присутствует нестабильность.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33