16 = 9), - отдал брату.
Очень скоро Катет маленький понял, что его обделили, потому что брату достался удобный квадратный бассейн, а ему два каких-то закутка, где ни кролем, ни брассом не развернёшься!
Дело дошло до драки, да хорошо, мама вернулась вовремя. Она отшлёпала обоих, вышвырнула лишние канаты и сказала, что теперь весь этот участок оставляет только для себя, а сыновьям отделила два новых, также квадратных, участка. Один примыкал к берегу, у которого длина 4 метра, другой - к берегу, что в 3 метра.
Так каждый из братьев получил по отдельному огороженному участку для плавания: старший - площадью 16, младший - 9 квадратных метров. И оказалось, что участки обоих братьев по общей площади равны маминому участку:
3 ? 3 + 4 ? 4 = 5 ? 5.
Теперь все купались, не мешая друг другу, а потом шли на берег греться и пить кофе. Вот и вся легенда.
- Легенда легендой, - добавил капитан, - а это замечательное свойство прямоугольного треугольника обнаружил великий математик древней Греции Пифагор. И записал он его так: площадь квадрата, построенного на гипотенузе любого прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.
ДУМАТЬ НАДО, ДУМАТЬ!
3 нуляля
- Внимание! - сказал капитан. - Фрегат идёт вдоль берега Точных Доказательств. Здесь надо вести судно особенно осторожно: повсюду подстерегают подводные камни. Один неумелый манёвр - и можно утонуть в море Ошибок. Вот герб берега Точных Доказательств.
Капитан протянул нам памятный значок. На одной его стороне было написано: "Меньше слов - больше смысла", а на обороте - "Требуйте точных и красивых доказательств!"
Да, это вам не бухта Аксиома, где ничего нельзя доказывать! Здесь не только можно, но и нужно. Но капитан сказал, чтобы я не слишком торопился отделаться от аксиомы. Потому что без аксиомы ничегошеньки не докажешь. Ни одной теоремы!
- Чего-чего? - переспросил я.
- Те-о-ре-мы! - повторил капитан. - Это слово греческое и означает в переводе "обдумывание". Для того чтобы доказать теорему, надо много думать.
Я сказал, что, наверное, очень трудно доказывать теоремы. Но капитан ответил, что совсем не трудно, если всё время думать логически, то есть рассуждать правильно, последовательно, так, чтобы одна мысль вытекала из другой, а не противоречила ей. Уметь логически рассуждать важно каждому, а математику - особенно.
Я попросил капитана доказать какую-нибудь теорему. Он нарисовал два треугольника, оба прямоугольные, - я это понял сразу, потому что не успел ещё забыть легенду про маму-Гипотенузу и братьев-Катетов. Капитан велел запомнить, что точки, где сходятся стороны треугольника, называются вершинами и что вершин у треугольника три. Он их обозначил латинскими буквами. У одного треугольника - большими (А, В. С), у второго - маленькими (а, в, с).
- Эти треугольники замечательны тем, - продолжал капитан, - что как меньшие, так и большие катеты у обоих одинаковой длины. Вот и надо доказать, что при этом треугольники равны между собой.
Я чуть было не брякнул, что это очень просто, но капитан остановил меня.
- Первым делом, - сказал он, - надо определить, что такое равные треугольники. Ведь прежде чем что-либо доказывать, надо знать, что собираешься доказать. Так вот. Если ты возьмёшь два треугольника, наложишь их аккуратно один на другой и они в точности совпадут, то такие треугольники и называются равными.
Я тут же решил вырезать один из нарисованных треугольников, а потом наложить его на другой, но капитан сказал, что это будет не доказательство теоремы, а кит знает что.
Во-первых, нам может только показаться, что треугольники совпали, потому что зрение наше несовершенно. Но если даже треугольники совпадут в точности, мы докажем лишь то, что равны только эти треугольники. А теорема должна быть справедливой не для двух, а для всех прямоугольных треугольников, у которых катеты соответственно равны.
- А для этого, друзья, - закончил капитан, - нужно уметь рассуждать. Думать надо, думать!
Ничего не поделаешь, придётся немножко и подумать.
- Начнём доказательство со слов: "Допустим, что...", - сказал капитан. - Допустим, что я мысленно (обратите внимание - мысленно!) накладываю вершину прямого угла одного треугольника на вершину прямого угла второго - точку А на точку а. А потом осторожно накладываю друг на друга два равных катета. Как вы думаете, совпадут концы этих катетов или нет? Совпадут точки В и в?
- Совпадут, - ответил Пи, - ведь катеты эти одинаковой длины.
- Верно. Теперь допустим, что эти катеты крепко-накрепко склеились. Наложатся друг на друга два других катета? Думайте, думайте!
- Ясно, наложатся, - ответил я. - Углы между катетами у обоих треугольников прямые - значит, одинаковые, по 90 градусов, длины катетов тоже одинаковые.
- Ты делаешь успехи, Нулик! - похвалил капитан. - Итак, логика помогла нам выяснить, что катеты обоих треугольников накрепко склеились. Остаётся установить, совпали гипотенузы или нет.
Мы с Пи понимали, что гипотенузы должны совпасть, но капитан потребовал, чтобы мы это до-ка-за-ли! Да, нелёгкая это работа - из болота тащить бегемота! Хорошо, капитан дал наводящий вопрос: все ли вершины треугольника совпали?
- Все! - сказал Пи.
- Значит, - сообразил я, - совпали и гипотенузы ВС и вс!
Капитан прищурился:
- Ой ли? А из чего это следует?
Из чего? Ах я чудак этакий! Да из аксиомы! Аксиомы о том, что через две точки можно провести только одну прямую!
- Логично, - согласился капитан. - Теперь теорема доказана: треугольники в точности наложились один на другой. Стало быть, они равны между собой.
Ура! Да здравствуют аксиомы!!
ПОСТОЯННЫЕ ОТНОШЕНИЯ
4 нуляля
Какие чудные имена бывают у островов! Как вам, например, нравится такое - "Остров Отношений"? Мы с коком чуть со смеху не лопнули, когда услышали, что так называется нынешняя наша стоянка. Добро бы ещё это был Остров Добрых Отношений или, на худой конец, Остров Плохих Отношений... А то просто отношений - и всё тут!
Но капитан сказал, что остров этот ни к добрым, ни к плохим отношениям отношения не имеет. Это остров отношений математических.
Мы, конечно, потребовали объяснений и, как всегда, своё получили.
- Смотрите, - сказал капитан. И написал на листе блокнота вот что:
6 : 2 = 3
Ну, мы сразу поняли, что это пример на деление.
- Верно, - сказал капитан, - но тот же самый пример на деление можно рассматривать как пример на отношение чисел. Разделив шесть на два, мы выясним, как эти числа относятся друг к Другу.
- Ага! - обрадовался я. - Значит, у чисел всё-таки есть какие-то отношения!
- Разумеется, - подтвердил капитан, - но не добрые и плохие, а числовые. И если у нас с тобой отношения могут меняться в зависимости от твоего поведения (сегодня - хорошие, завтра - плохие), то у чисел они никогда не меняются. Отношение шести к двум всегда равно трём, десяти к двум - пяти, тридцати шести к четырём - девяти...
- Значит, разные числа относятся друг к другу по-разному? - сообразил Пи.
- Не всегда, - сказал капитан. - В том-то и дело, что есть много пар разных чисел, которые относятся друг к другу совершенно одинаково. Отношение шести к двум равно трём. Но ведь трём равно и отношение двенадцати к четырём, восемнадцати к шести, ста двадцати к сорока. Таких пар можно подобрать сколько угодно. Соединим два таких отношения знаком равенства и получим пропорцию:
6 : 2 = 12 : 4
Ведь пропорция как раз и есть равенство двух отношений, а числа, образующие пропорцию, называются соответственно пропорциональными.
Капитан хотел сказать ещё что-то, но я спросил: что значит "соответственно"?
- А то, - объяснил капитан, - что делимые двух отношений пропорциональны их делителям. 6 и 12 пропорциональны 2 и 4.
Ничего не скажешь, всё понятно, но, по совести, скучновато. Во всяком случае, после рассказа капитана ничего интересного от острова Отношений мы не ждали. И напрасно.
Не успели мы сойти на берег, как тут же попали в кино и с удовольствием посмотрели весёлый приключенческий фильм "Великолепная Восьмёрка". Правда, какое отношение к числовым отношениям имеет кино, мы поначалу не уловили, но оказалось, что самое непосредственное.
Кинолента состоит из крохотных кадров, а на экране те же кадры мы видим увеличенными во много-много раз. Но самое главное здесь в том, что числовое отношение всех размеров изображения остаётся при этом точно таким же, как и на плёнке.
На плёнке изображён дом. Высота его, допустим, 8 миллиметров, ширина 4. На экране же высота этого дома стала 80 сантиметров, а ширина - 40. Дом вырос в 100 раз. Но отношение его высоты к ширине ничуть от этого не изменилось. Все размеры его соответственно пропорциональны размерам на плёнке. Стало быть, на экране мы видим точное подобие того, что есть на киноленте. Вот почему изображения, все размеры которых соответственно пропорциональны, называются подобными.
Мы, разумеется, тут же предположили, что раз существуют изображения подобные, значит, должны быть какие-то бесподобные.
- Выдумщики! - засмеялся капитан.
Он сказал, что бесподобных изображений в математике нет, зато есть не подобные, и повёл нас... в комнату смеха.
Да, да. На Острове Отношений тоже есть комната смеха. Как в нашем парке культуры и отдыха. Здесь, как водится, понаставлены всякие зеркала. В одном ты - кубышка, поперёк себя толще, в другом - длиннющая жердь.
Я очень люблю смотреться в такие зеркала и каждый раз хохочу до упаду. Только прежде я смеялся просто так, а сегодня понял, что меня смешит. Я смеюсь оттого, что вместо подобной себе фигуры вижу не подобную, не пропорциональную, то есть такую фигуру, где привычное соотношение всех частей тела изменено, нарушено.
Но для чего всё-таки нужны все эти подобия и неподобия, пропорциональности и непропорциональности? Зачем их изучают? Да затем, что без правильных пропорций не создашь ничего путного.
Когда архитектор строит дом, он заботится не только о его прочности и удобстве, но и о том, чтобы на него приятно было смотреть. А приятно смотреть на такое здание, где всё соразмерно, где найдены правильные, красивые пропорции. Конечно, найти их нелегко. Для этого надо быть не только хорошим строителем, но и художником, то есть обладать чувством прекрасного.
Капитан сказал, что чувство это было в высшей степени свойственно древним грекам. Недаром же созданные ими статуи до сих пор остаются недосягаемым образцом в искусстве, точно так же как древнегреческие здания - в архитектуре. И происходит это потому, что греки нашли совершенные, идеальные соотношения между частями человеческого тела. Точно так же умели они находить правильные соотношения между частями зданий. Потому-то найденные ими пропорции называют классическими...
- А почему сейчас архитекторы не строят таких классических зданий? спросил я.
- Да потому, - сказал капитан, - что всё хорошо в своё время. Мы можем любоваться древнегреческими строениями, но повторять их сейчас было бы глупо. То, что прекрасно, должно быть ещё и удобно Ведь древние греки жили совсем не так, как мы. У них были иные потребности. Им не нужны были, например, высотные здания, да они и не сумели бы их построить. Кроме того, напрасно ты думаешь, что в наше время классические пропорции забыты. Они используются и в современных зданиях, хотя и не всегда. Потому что рядом со старыми возникают новые соотношения, новые пропорции... Всё на свете меняется. В том числе и понятие прекрасного.
- Нет, - заявил я, - кое-что всё-таки остаётся неизменным. Это отношения чисел. Ведь шесть, делённое на два, всегда равно трём!
ИГРА ИЛИ НАУКА?
5 нуляля
Мы с коком гуляли по палубе и смотрели, как Фрегат пробирается среди бесчисленных островов, стараясь их не задеть. Посреди каждого острова на высоком шесте развевался флаг. А на флагах были написаны разные цифры. Только написаны они были как-то странно: одна цифра под другой, а между ними - чёрточка:
, , , , ...
Капитан сказал, что так математики записывают дробные числа. Оказывается, числа бывают не только целые. Стоит целое число раздробить на части - и получаются дроби.
Кок сказал, что он-то хорошо знает, как дробить на части. На судне не осталось ни одной целой чашки.
Капитан объяснил нам, что дроби, которые меньше единицы, называются правильными. На флагах этих островов написаны только правильные дроби. Число над чёрточкой называется числителем дроби, число под чёрточкой знаменателем дроби. Знаменатель показывает, на сколько частей разделён числитель. Например, дробь показывает, что от единицы взята третья часть. И читается эта дробь так: одна треть.
У правильной дроби числитель всегда меньше знаменателя, а у неправильной - больше.
Значит, есть дроби, которые больше единицы? Да, есть. Если разделить пять на два, получится неправильная дробь - пять вторых. А это всё равно что два с половиной, и записывается так: Вот и выходит, что неправильная дробь больше единицы.
- А теперь, - сказал капитан, - посмотрите направо. Перед вами Залив Десятичных Дробей.
Да, оказывается, есть и такие дроби. Это те, у которых знаменатель всегда либо десять, либо сто, либо тысяча... Словом, число, которое делится на десять без остатка.
Коку это очень понравилось, и он заявил, что теперь будет бить чашки только на десятичные осколки.
- А записывать это буду так, - добавил он,
, ,
Верно?
- И верно, и неверно, - ответил капитан. - Десятичные дроби принято записывать иначе, в строчку. Если число больше единицы, целую часть его отделяют от дробной запятой. А если число меньше единицы, то перед запятой ставят нуль.
- А где же пишут знаменатель? - спросил я.
- Знаменателя совсем не пишут, - ответил капитан, - его подразумевают. Дело в том, что у десятичных дробей, как и у целых чисел, есть разряды. Первый знак после запятой справа указывает, сколько десятых долей в числе, второй - сколько сотых, третий - сколько тысячных, и так далее. Вот, например, 0,2 читается так: две десятых. А 0,02 - две сотых...
Под конец капитан попросил нас прочитать такое число: 0,023.
Я ответил, что это очень легко: нуль целых, нуль десятых, две сотых и три тысячных.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12