- Не совсем! - возразил Шалтай-Болтай. - Я сказал это дважды, а повторил только один раз.
- Но дело не в этом, - продолжал он. - Обычно парадоксам придают форму утверждений, а не вопросов. Мой же парадокс (и в этом его новизна) облечен в форму вопроса, а не утверждения. В основе его та же замечательная идея, которая заложена в знаменитом утверждении, утверждающем, что оно ложно!
- А что это за утверждение? - спросила Алиса.
- Это очень известное утверждение. Если хочешь, могу записать тебе его на память.
Алиса протянула Шалтаю-Болтаю карандаш и записную книжку.
Шалтай-Болтай просмотрел первые девять страниц.
- Очень интересно, - заметил он, - но ты забыла пронумеровать страницы. Не забывай, что страницы нужно непременно нумеровать. Иначе как ты узнаешь, какая страница за какой следует?
- Но ведь странички не вырваны из записной книжки, - возразила Алиса, - а переплетены вместе, поэтому сразу видно, какая страничка за какой следует!
- Все равно страницы нужно нумеровать! - настаивал Шалтай-Болтай. - -- Я их тебе сейчас перенумерую.
Он перенумеровал первые девять страниц, а затем еще чистые десятую и одиннадцатую страницы. Затем на десятой странице он написал
- 10 Утверждение на странице 10 ложно
и отдал записную книжку Алисе.
- Что ты теперь скажешь? - спросил ШалтайБолтай.
- Истинно или ложно утверждение на странице 10 твоей записной книжки?
- На этот вопрос невозможно ответить, - сказала Алиса, немного подумав. - Оно может быть и истинным, и ложным.
- Неправильно! - воскликнул Шалтай-Болтай. - Неправильно, что оно может быть и истинным, и ложным. Оно не может быть ни истинным, ни ложным!
- А почему? - спросила Алиса.
- Сейчас объясню, дитя мое. Как, по-твоему, может ли это утверждение быть истинным?
- А почему бы нет? - удивилась Алиса.
- Хорошо, будь по-твоему. Предположим, что это утверждение истинно. Тогда то, что в нем говорится, должно соответствовать действительности. Но в нем говорится, что оно ложно. Следовательно, в действительности оно должно быть ложно. Значит, если оно истинно, то оно ложно. Но одно и то же утверждение не может быть одновременно и истинным, и ложным. Следовательно, оно не может быть истинным.
- Совершенно верно! - сказала Алиса. - А раз оно не может быть истинным, то должно быть ложным.
- Опять неправильно! - торжествующе сказал Шалтай-Болтай. - Оно не может быть и ложным!
- А почему? - спросила Алиса.
- А вот почему. Предположим, что оно ложно. Тогда то, что в нем говорится, не соответствует действительности. Но в нем говорится, что оно ложно. Поскольку то, что в нем говорится, не соответствует действительности, оно в действительности не ложно. Значит, в действительности оно истинно. Следовательно, если оно ложно, то оно истинно, и мы опять приходим к противоречию. Значит, это утверждение не может быть ложным. Вот тебе и весь сказ!
- Как же быть? - огорченно сказала Алиса. - Я опять в таком же затруднительном положении, как с вашей первой задачей!
- Совершенно верно! - согласился Шалтай-Болтай. И это самое прекрасное.
- Припоминаю, - продолжала Алиса, - что мне приходилось слышать о похожем парадоксе и раньше - историю о древнегреческом философе Эпимениде Критском. По преданию, он сказал:
"Все критяне лжецы". Если Эпименид говорит правду, то он лжет, а если Эпименид лжет, то он говорит правду. Это и есть парадокс.
- Неправильно! - решительно возразил Шалтай-Болтай.
- Это не парадокс, а распространенная логическая ошибка.
Одна из таких ошибок, которые только выглядят как парадокс, а на самом деле никакой это не парадокс!
- Не могли бы вы объяснить это мне подробнее? - попросила Алиса.
- Прежде всего выясним, кого ты называешь лжецом - того, кто все время лжет, или того, кто лжет время от времени?
- Я никогда не задумывалась над этим раньше, - призналась Алиса, - но, полагаю, что даже того, кто лжет время от времени, следовало бы называть лжецом.
- Тогда то, о чем ты говоришь, заведомо не парадокс, - ответил Шалтай-Болтай. - Утверждение Эпименида вполне может быть истинным, если понимать слово "лжец" по-твоему. Оно означает лишь, что все критяне время от времени лгут. Сам Эпименид, будучи критянином, также время от времени лжет, но это отнюдь не означает, что высказанное им вполне определенное утверждение о критянах (а нас интересует именно такое утверждение - о том, что все критяне лжецы) ложно. Как видишь, никакого парадокса тут нет.
- Вижу, - сказала Алиса. - Наверное, мне нужно было иначе определить, что такое лжец? По-видимому, лжец - это человек, который всегда лжет. Может быть, тут мы придем к парадоксу?
- Нет, и тогда никакого парадокса не возникло бы, - уверил ее Шалтай-Болтай. - Если определить лжеца так, как ты теперь предлагаешь, то утверждение Эпименида не может быть истинным. Действительно, если все критяне всегда лгут, то и Эпименид, будучи критянином, также всегда лжет.
Следовательно, он лгал и тогда, когда высказывал свое утверждение. Таким образом, если бы оно было истинным, то должно было бы быть ложным, и мы приходим к противоречию.
- Да ведь это парадокс! - сказала Алиса.
- Нет! - возразил Шалтай-Болтай. - Противоречие возникает только в том случае, если мы предположим, что утверждение истинно. Если считать, что утверждение ложно, то никакого противоречия не возникает!
- Объясните, пожалуйста, а то мне не совсем понятно, - попросила Алиса.
- Охотно, - согласился Шалтай-Болтай. - Что мы имеем в виду, когда говорим, что утверждение Эпименида ложно? Очевидно, следующее: неверно, что все критяне лжецы. Иначе говоря, по крайней мере один критянин время от времени говорит правду. Значит, из утверждения Эпименида следует лишь, что он лжет и что по крайней мере один критянин время от времени говорит правду, а это совсем не парадокс!
- Как интересно! - воскликнула Алиса.
- Кстати сказать, - заметил Шалтай-Болтай, - если мы примем дополнительно два допущения о том, что Эпименид - единственный критянин и что высказанное им утверждение - единственное утверждение, когдалибо сделанное им за всю жизнь, то действительно получим парадокс! Он будет в точности таким же, как то утверждение, которое я написал на листке из твоей записной книжки. Помнишь, в нем говорилось о том, что оно ложно?
- Поразмысли над этим, - посоветовал Шалтай Болтай. - а я хочу предложить тебе провести еще один опыт. Не дашь ли ты мне еще раз свою записную книжку?
Алиса с готовностью протянула ему карандаш и записную книжку. Шалтай-Болтай что-то написал в ней и, вернув записную книжку, сказал:
- Взгляни на страницу II. Истинно написанное там утверждение или ложно?
Алиса открыла записную книжку на странице 11 и прочитала:
- 11 Утверждение на странице 11 истинно
Алиса немного подумала и ответила:
- Я ничего не могу сказать. Мне кажется, что оно может быть и истинным, и ложным. Если оно истинно, то никакого противоречия не возникает. Если же оно ложно, то никакого противоречия также не возникает.
- На этот раз ты абсолютно права! - согласился Шалтай-Болтай.
- Да ты, я вижу, хамелеонная девочка!
- Что вы имеете в виду? - удивилась Алиса.
- А то, что ты говоришь то неправильно, то правильно, совсем как хамелеон, который меняет свою окраску: то он одного цвета, то другого.
Такое употребление слова "хамелеонный" показалось Алисе весьма странным. Впрочем, у Шалтая-Болтая (как она вспомнила) слова означали только то, что он хотел, не больше и не меньше.
- Я хотел бы провести еще один опыт, - сказал Шалтай-Болтай. Дай-ка мне еще раз твою записную книжку.
Взяв у Алисы ее записную книжку, Шалтай-Болтай стер номера 10-й и 11-й страниц и вместо 10 написал II, а там, где стоял номер II, написал 10, после чего странички стали выглядеть так:
- 10 - - 11 Утверждение Утверждение на странице 11 на странице 10 ложно истинно
- Как, по-твоему, - спросил Шалтай-Болтай, - ложно или истинно утверждение на странице 11?
Алиса задумалась, как вдруг ей в голову пришло решение.
- Утверждение на странице 11 не может быть ни ложным, ни истинным, - -- сказала она. - Это еще один парадокс!
- Правильно! - сказал Шалтай-Болтай. - Но как это доказать?
- Очень просто, - сказала Алиса. - В утверждении на странице 11 в действительности говорится только не прямо, а косвенно, что оно ложно: в нем говорится, что истинно утверждение на странице 10, в котором говорится, что утверждение на странице 11 ложно. Следовательно, если утверждение на странице 11 истинно, то оно должно быть ложно, а если оно ложно, то должно быть истинно, и мы снова получаем парадокс.
- Ты растешь прямо на глазах! - воскликнул Шалтай-Болтай, очень довольный своей ученицей.
- Вы знаете, есть один парадокс, который мне так и не удалось решить, сколько я ни старалась, - сказала Алиса.
- Может быть, вы сможете мне чем-нибудь помочь?
- Буду очень рад, - ответил Шалтай-Болтай, которому очень польстила просьба Алисы. - Я перерешал все задачи, которые когда-либо были изобретены, и еще больше задач, которые никогда не были изобретены. Так в чем твоя задача?
- В ней говорится о брадобрее, - сказала Алиса. - В одном небольшом городе жил брадобрей, который брил всех жителей города, которые не брились сами. Брился ли сам брадобрей или не брился?
- Это очень старая и очень легкая задача! - засмеялся Шалтай-Болтай.
- Но я не вижу ни одного приемлемого решения! - сказала Алиса. Я думала над этой задачей довольно долго, но ничего путного так и не придумала. Если брадобрей бреется сам, то он нарушает свое правило, по которому он бреет только тех жителей, которые сами не бреются. Если же брадобрей сам не бреется, то он принадлежит к числу тех жителей города, которые сами не бреются, а так как таких жителей он бреет, то должен брить и самого себя. Таким образом, бреется брадобрей или не бреется, мы приходим к противоречию! Разрешить его, сказав: "Утверждение о том, что брадобрей бреется сам, не истинно и не ложно", - мы не можем, так как он либо бреется сам, либо не бреется, поэтому утверждение должно быть либо истинным, либо ложным.
- Кто бреется сам? - спросил Шалтай-Болтай.
- Как это кто? Брадобрей!
- Какой брадобрей? - допытывался Шалтай-Болтай.
- Брадобрей из истории о брадобрее! - ответила Алиса чуточку нетерпеливо.
- Ах вот кто! - протянул Шалтай-Болтай. - А кто сказал, что эта история правдива? Алиса немного подумала.
- Послушайте, - сказала она. - Дано, что брадобрей ведет себя так, как об этом говорится в истории.
Когда вы решаете задачу, разве можно отрицать то, что дано в ее условиях?
- А разве нельзя? - удивился Шалтай-Болтай. - Даже если то, что дано, внутренне противоречиво? Такая идея не приходила Алисе в голову.
- В действительности, - продолжал ШалтайБолтай, - такого брадобрея нет, не было и не будет. Такого брадобрея просто не могло быть потому, что, если бы он был, возникло бы противоречие.
Алисе объяснение Шалтая-Болтая показалось не очень убедительным.
- Подумай сама, - настаивал Шалтай-Болтай не без раздражения. Предположим, я скажу тебе, что был на свете человек ростом шесть футов, а человек не был ростом шесть футов. Что ты на это скажешь?
- Скажу, что такого человека не было, - ответила Алиса.
- Хорошо! А предположим, я скажу тебе, что был на свете брадобрей, который сам ни брился, ни не брился. Что ты на это скажешь?
- Скажу, что такого брадобрея на свете не было, - ответила Алиса.
- Прекрасно! Именно о таком брадобрее и идет речь в твоей истории! Ведь твой брадобрей не мог бы ни бриться сам, ни не бриться сам! Следовательно, такого брадобрея на свете не было. Вот тебе логика!
На этот раз объяснения Шалтая-Болтая полностью убедили Алису.
- Существует близкая задача, которая позволяет яснее представить себе всю проблему. - продолжал Шалтай-Болтай. - В некотором городе живут два брадобрея. Назовем их брадобрей A и брадобрей B. Дано, что брадобрей A бреет всех жителей города, которые не бреются сами, но не дано, что он не бреет еще каких-нибудь жителей города. Относительно брадобрея B известно, что он не бреет ни одного жителя города, который бреется сам, но не обязательно бреет всех жителей города, которые не бреются сами. В этом случае вполне возможно, что брадобреи A и B существуют. Такое предположение ничему не противоречит.
- А в чем задача? - спросила Алиса.
- Задача состоит из двух частей. Бреет ли себя или не бреет брадобрей A? И бреет ли себя или не бреет брадобрей B? Алиса немного подумала.
- Брадобрей A бреется сам, а брадобрей B сам не бреется, - ответила она, необычайно гордая своей сообразительностью.
- Хорошо! Очень хорошо! - похвалил ее ШалтайБолтай.
- А не можешь ли ты объяснить мне, почему?
- Потому, - начала весьма уверенно Алиса, - что если бы брадобрей A не брился сам, то он был бы одним из тех, кто не бреется сам, а поскольку всех таких жителей города он бреет, то должен был бы брить и самого себя, и мы приходим к противоречию. Следовательно, брадобрей A не бреется сам. Относительно брадобрея B можно сказать, что если бы он брился сам, то брил бы жителя города, который бреется сам, чего он никогда не делает. Значит, брадобрей B не может брить самого себя.
- Ты растешь просто на глазах! - сказал ШалтайБолтай. - Тебе необычайно повезло, что у тебя такой прекрасный учитель!
Алиса не знала, что сказать на это. С одной стороны, уроки логики, которые преподал ей ШалтайБолтай, действительно были весьма поучительными! И все же ее не покидало ощущение, что он чуточку хвастает!
- Вы сказали, что это позволяет по-новому взглянуть на задачу о брадобрее, - напомнила Алиса. - Какая же связь существует между задачей об одном брадобрее и задачей о двух брадобреях?
- Я очень рад, что ты спросила об этом, - оживился Шалтай-Болтай. - Видишь ли, на свете вполне мог бы быть такой брадобрей, как A, и он должен был бы бриться сам. На свете вполне мог бы быть и такой брадобрей, как B, только он не мог бы бриться сам. Но ни один брадобрей не мог бы быть одновременно и брадобреем A, и брадобреем B! Между тем в исходной задаче речь шла об одном брадобрее, который совмещал в себе отличительные особенности и брадобрея A, и брадобрея B, а именно это и невозможно!
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22