1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, и так далее. Это и есть убывающая геометрическая прогрессия. После шестидесяти четырех перегибаний площадь станет в 1/2 раз – в одну вторую, взятую в шестьдесят четвертой степени раз, меньше первоначальной. И если бы мы складывали платок дальше, то она все время приближалась бы к нулю, а толщина (или высота) стремилась бы к Великанам в Бесконечность. Вы согласны? Тогда благодарю за внимание.
В зале снова зашумели, захлопали. Барон Мюнхгаузен позвонил в колокольчик и сказал:
– Жюри одинаково восхищено и той и другой задачей. Обеим участницам вручается первый приз.
Он передал победительницам шахматные доски с красивыми фигурами из слоновой кости и добавил:
– Меня так заинтересовали оба выступления, что следующее путешествие я совершу в Бесконечность. А потом – кто знает? – может быть, доберусь и до Нуля!
Барон поклонился. Соревнования кончились, и мы отправились спать. Ведь завтра нам идти на строительство! А перед этим не мешает хорошенько отдохнуть.
Олег.

Новые открытия Нулика
(Нулик – отряду РВТ)


Здравствуйте, ребята! Ну и работу вы нам задали! Теперь мы только и делаем, что играем в шахматы. Каждый сам смастерил себе доску и фигуры. Играем с утра до вечера – то друг с другом, а то и каждый сам с собой. Но я все-таки успел сделать открытие: по шахматной доске сразу видно, что Карликания и Аль-Джебра друзья. Ведь каждая шахматная клетка имеет свое обозначение, которое состоит из цифр и букв. Например, е5, а4, d8. Разве это не доказательство дружбы?
Задачу с зернами все-таки решили проверить. Конечно, без риса. Просто все стали писать на своих досках, сколько надо положить рисинок на каждую клетку: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128… Когда заполнили первый ряд, выяснилось, что одни пишут слева направо, а другие справа налево.

Стали спорить, как надо писать. Положили две доски одну под другой. На одной числа написаны внизу, слева направо, на другой – вверху, справа налево. Числа, одинаково отстоящие от края, оказались друг против друга. Прямо как на палке у фокусника!
Я попробовал сложить каждую пару, но одинаковых чисел не получилось. Понятно: ведь прогрессия-то не арифметическая, а геометрическая! Тогда я их перемножил и сделал второе открытие: все произведения оказались совершенно одинаковые:
1 Х 128 = 128;
2 X 64 = 128;
4 X 32 = 128;
8 X 16 = 128.
Да, теперь я уже не тот Нулик, что прежде. Меня и вправду не узнать. А все ваши письма!
Дальше считать зерна никто не захотел – кому же охота писать такие огромные числа? Но один Нулик задал интересный вопрос: если на шестьдесят четвертую клетку надо положить девять с лишним квинтиллионов зерен, то сколько всего зерен будет на доске, если, конечно, заполнить все клетки?
– Что тут думать! – сказал другой Нулик. – Всего на доске будет зерен два в шестьдесят третьей степени. То есть вот эти девять квинтиллионов.
– Ничего подобного, – возразил третий, – девять квинтиллионов будет только на последней клетке, а на всей доске во много раз больше.
Они заспорили, а я снова посмотрел на свою шахматную доску, где в первом ряду написана геометрическая прогрессия: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. После треугольника Паскаля я вообще стал очень внимательно рассматривать числа – все время ищу закономерности! Вот и сейчас сложил первый член прогрессии со вторым: 1 + 2 = 3. Сумма их оказалась на единицу меньше третьего члена – четверки. Потом я сложил 1 + 2 + 4. Получилось семь. А это на единицу меньше восьми. 1 + 2 + 4 + 8 = 15. И это тоже меньше шестнадцати на единицу. Выходит, сумма всех предыдущих членов этой геометрической прогрессии меньше последующего всегда на единицу. А это значит, что на шестидесяти трех клетках шахматной доски будет столько же зерен, сколько на последней, шестьдесят четвертой, только на одно зернышко меньше. А всего на доске зерен будет в два раза больше, чем на последней клетке, минус единица: 2 * 2 – 1. А это ведь все равно что 2 – 1.
Так я сделал третье открытие. И для этого мне не понадобилось ни писать всю прогрессию до конца, ни умножать девять квинтиллионов с хвостиком на два. Хорошая штука алгебра!
Нулик-Шахматист.

Волшебная практика
(Сева – Нулику)

Мы чуть не опоздали к началу рабочего дня. И все из-за Тани. На стройках, говорит, всегда пыль и грязь. Как бы мне, говорит, там не испортить любимого платья в оборочках. Наконец она появилась в комбинезоне и сапогах, на голове косынка, защитные очки. Прямо хоть снимай для газеты: «Знатная электросварщица Татьяна Н.».
Девчонок хлебом не корми – дай надеть какую-нибудь обновку. Я-то знаю, что не платья ей жалко, – просто захотелось покрасоваться в комбинезоне.
Ну и лицо у нее было, когда она увидела, что строительство больше похоже на ухоженную детскую площадку, где ребята заняты разными техническими играми – пилят, вырезают, конструируют… Только «игрушки» здесь были гораздо крупнее. Кружевные стрельчатые краны легко передвигали в воздухе разноцветные пластикатные детали.
К нам подошла нарядная латинская буква Эф. Она удивленно покосилась на Танин костюм:
– Хотите познакомиться с нашим экспериментальным строительством? Я вас провожу.
Первым долгом поинтересовались, что здесь строят.
– Да все, что угодно, – ответила Эф. – Дома, машины, бассейны…
Мы залюбовались высоким домом из разноцветных кубиков… Он вырос прямо на наших глазах – ни дать ни взять воздушный замок. И как же мне жалко стало, когда этот замок вдруг рассыпался, а на его месте возникло длинное двухэтажное здание с плоской крышей.
– Охота была строить, а потом разрушать! – подосадовал я.
Но Эф объяснила, что здесь не просто строят, а делают расчеты, которые тут же проверяют на практике. Я подумал, что если это и практика, то, во всяком случае, волшебная.
К нам подошел солидный карликан, Девятка.
– Здравствуйте, – обратился он к Эф. – Мы строим дом. Нам надо вырыть котлован для фундамента. Имеются три экскаватора. Первый может вырыть котлован за четыре часа, второй – за три, третий – за двенадцать. Через сколько часов будет готов котлован, если все три экскаватора работают одновременно? Это очень важно! Без этого я не смогу составить график строительства.
– Обратитесь к Главному Составителю, – ответила Эф.
Мы переглянулись.
– Нельзя ли и нам повидать Главного Составителя? – спросила Таня.
– А вы разве умеете решать уравнения? – поинтересовалась Эф.
Таня только покраснела. А я сказал напрямки, что мы об этом понятия не имеем.
– В таком случае вам придется начать с азов! Чтобы решить уравнение, следует прежде всего познакомиться с отрицательными числами.
Ну, это-то мы знали!
Эф облегченно вздохнула:
– Тогда я могу зачислить вас на строительство в качестве практикантов.
– И мы сейчас же начнем составлять уравнения? – брякнул я.
– О, до этого далеко. Сперва придется поработать в весовой.
Что ты скажешь? Опять отсрочка! В кармане лежит готовая задача, а ты, изволь радоваться, работай весовщиком!
Эф заметила, как мне досадно.
– В нашем деле лучше не торопиться, – сказала она, – это верный способ сэкономить время.
Ничего не поделаешь, пошли в весовую. Кстати, я давно не взвешивался. А в этой Аль-Джебре похудеешь!
Сева.

Весовая
(Таня – Нулику)

Что ни говори, Нулик, Аль-Джебра – удивительное государство! Вчера были в современном кафе, сегодня на сверхскоростном строительстве, и вот, не успели опомниться, как попали в гости к древнему восточному кудеснику.
Как ты себе представляешь весовую? Большой амбар, тяжелые неуклюжие весы. У весов – дюжий весовщик в брезентовом фартуке и рукавицах. А вокруг – мешки, ящики, корзины…
Так вот, ничего подобного не было. Нас ввели в полутемный сводчатый зал с тонкими витыми колоннами, такой высоченный, что потолка не видно. Будто над тобой ночное небо, только без луны и звезд. Вместо них в полумраке светятся какие-то закорючки и загогулины. Должно быть, восточные письмена. Посреди зала – большие старинные весы: тяжелые медные чашки, подвешенные на цепях к концам металлического коромысла. Весы тоже сплошь в закорючках и загогулинах. Они парят в воздухе, как большая диковинная птица. А между чашками, словно глазок радиоприемника, сверкает зеленый кошачий глаз.
– Садитесь, – шепнула Эф.
Мы оглянулись: ни стульев, ни кресел. Только несколько пестрых ковриков на полу. Эф уселась на одном из них, скрестив ноги. Мы сделали то же самое.
Бам! Что-то зазвенело – будто стукнулись два медных подноса, – и из темноты вынырнула фигура в длинном черном балахоне с желтыми разводами. На голове – белая шелковая башня. Называется «тюрбан». И борода у него тоже белая и шелковистая.
– Главный Весовщик, – шепнула Эф. – Следите за ним внимательно.
Весовщик приложил руку к сердцу и поклонился. Мы тоже приложили руки к сердцу и поклонились. Потом он взмахнул палочкой, и на каждой чашке весов появилось по Семерке. – обе в светящихся костюмах. Я так на них загляделась – даже не заметила, что в кошачьем глазке засветились две черточки. Эф легонько толкнула меня локтем:
– Это знак равенства. Семь равно семи, – негромко сказала она.
– Уж конечно, не восьми, – фыркнул Сева.
Но тут Весовщик снова взмахнул палочкой, и на правой чашке весов вместо Семерки оказалась Восьмерка. Чашка сразу опустилась. Мы взглянули на зеленый глазок: черточки знака равенства соединились слева и образовали уголок: 7 « 8.
– А вот знак неравенства. Он обозначает, что семь меньше восьми, – пояснила Эф.
Тут Восьмерка и Семерка поменялись местами. Теперь уже опустилась левая чашка. Черточки в кошачьем глазке снова задвигались и соединились правыми концами: 8 » 7.
– Понятно, – сказал Олег, – этот знак показывает, что восемь больше семи. Выходит, там, где палочки сходятся, стоит меньшее число, а там, где они расходятся, – большее.
– Детские игрушки, – проворчал Сева.
Весовщик не обратил внимания на его дерзость. Он взмахнул палочкой, и вот уже вместо чисел на весах засветились буквы: слева а + b, справа с. Между ними загорелся знак равенства: а + b = с.
Но в Севу точно бес вселился! Все ему не нравилось.
– Почему это, – придрался он, – Весовщик думает, что а + b равно с?
– А он вовсе и не думает – он требует этого, – ответила Эф. – Наверное, ему для какой-то задачи понадобилось, чтобы левая часть непременно была равна правой.
– А может быть, он все-таки ошибается? – заупрямился Сева. – Ведь под буквой можно подразумевать любое число! Вот я сейчас попрошу заменить все три буквы числами.
Он встал и подошел к Весовщику. Признаться, я очень испугалась: вдруг Весовщик рассердится и превратит Севу в какое-нибудь неравенство? Но он вовсе не рассердился. Наоборот, прижал руку к сердцу, и вот уже на левой чашке весов вместо буквы а стоит число Четыре, вместо b – Пять, а на другой чашке вместо с – Девятка: 4 + 5 = 9.
Но Сева не унимался.
– Нет, так не пойдет, уважаемый Главный Весовщик! Вы просто поставили те числа, которые вам выгодно. Позвольте, я сам!
Он назвал другие числа. Весовщик улыбнулся и снова пустил в ход свою палочку. Коромысло закачалось, в глазке зажегся знак неравенства. И мы увидели вот что: 6 + 7 « 20.
– Что я говорил! – закричал Сева. – Выходит, а плюс b не равно с.
И тут молчаливый Весовщик не выдержал.
– О неразумный отрок! – заговорил он тонким скрипучим голосом. – Если ты хочешь стать мудрецом, не болтай языком, не подумав. Под буквами действительно можно подразумевать произвольные числа. Но только до тех пор, пока они не связаны знаком равенства. В равенстве а + b = с можно произвольно заменить числами не три, а только две буквы. Величина третьей выяснится сама собой. Замени две из этих букв числами.
Сева подумал, пошевелил губами…
– Пусть а будет равно пяти, а с – двенадцати. На весах появилось выражение: 5 + b = 12.
– Скажи теперь, – улыбнулся Весовщик, – можно ли вместо b подставить любое число?
Но Сева не успел и рот открыть, как на весах вместо буквы b засветилась Семерка: 5 + 7 = 12.
Сева почесал за ухом.
– Да! С этими равенствами не разгуляешься. Зато уж в неравенстве подставляй что душе угодно – так неравенством и останется.
Весовщик укоризненно покачал головой:
– Опять говоришь не подумав. Неравенство неравенству рознь.
Oн взмахнул палочкой. На левой чашке весов появились c + d, на правой е, а между ними – знак неравенства: c + d « e.
Правая чашка весов опустилась.
– Назови вместо этих букв любые числа, – предложил Весовщик.
Сева назвал. И на левой чашке весов мы увидели 4 + 8, а на правой 9. Левая чашка опустилась, и знак неравенства повернулся острием вправо: 4 + 8 » 9.
– Ага! Неравенство сохранилось, – обрадовался Сева.
– Да, – сказал Весовщик, – но теперь левая часть стала больше правой, а не меньше, как мы условились.
– Почтенный Весовщик, – вмешался Олег, – вы хотите сказать, что, подставив в левую часть этого неравенства 4 + 8, справа можно подставить любое число, но при одном условии: оно должно быть больше двенадцати. Тогда левая часть всегда будет меньше правой.
– Вот именно, вот именно! – умилился Весовщик и так закивал головой, что вот-вот борода отвалится! Потом он перестал кивать и взглянул на Севу. Тот стоял надутый, взъерошенный, как воробей после драки.
– Вижу, – сказал Весовщик, – тебе во что бы то ни стало хочется подставлять любые числа под все буквы. Так и быть, попробуй еще разок.
На весах засветилось равенство: 3а + 2b = 2а + 3b – b + а.
– Нет уж, спасибо! – Сева даже руками замахал. – Теперь меня не проведешь.
– Зря отказываешься. В этом примере можно подставлять вместо а и b любые числа, какие вздумается.
Весовщик подставил вместо а Четверку, вместо b – Тройку: 3 * 4 – 2 * 3 = 2 * 4 + 3 * 3 – 3 + 4.
И сейчас же числа эти исчезли, уступив место числу 18 на каждой чашке весов: 18 = 18.
Сева растерянно поморгал глазами. Опять он попал впросак. Но почему?
– Да потому, – ответил Весовщик, – что это равенство особое. Оно называется тождеством. Какими числами ни заменяй буквы в тождестве, равенство все равно сохранится.
– Но как отличить тождество от обычного равенства, не подставляя чисел вместо букв?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16