– Решето?! Что же через него просеивают?
– Числа! Числа просеивают!! – закричал карликан, потеряв всякое терпение. – Посмотрите, как их основательно перетряхивают! Всякие отходы, вроде составных чисел, проваливаются сквозь решето, и их отводят на правую сторону аллеи. А в решете остаются в самом чистом виде наши драгоценные, наши ненаглядные простые числа. Их бережно, по порядку расставляют по левую сторону аллеи. Посмотрите, не правда ли, они очаровательны? – растрогался он вдруг.
Ребята из вежливости покивали головами, хотя никто из них никакого очарования в простых числах не находил.
К счастью, в это время нас догнала верная Четвёрка с бантиком. Все шумно обрадовались.
– Какой злой старикан! – пожаловался Сева. – Только и делает, что ворчит…
– Что вы! – рассмеялась Четвёрка. – Самый добрый карликан во всём государстве! Просто он не любит это показывать. Но не стоит отвлекать старика от работы. Я сама вам всё расскажу.
Мы с удовольствием уселись на скамью. И Четвёрка с бантиком начала свой рассказ:
– Давным-давно люди заметили, что есть такие числа, которые никого, кроме самих себя, не признают. Ни на какое другое число, кроме себя, они не делятся. И делают исключение только для единицы. И то только потому, что это деление на них никак не отражается: после деления на единицу они остаются такими же, какими были прежде. Вот эти-то числа люди и назвали простыми, хотя не так. Просто найти их среди других. Более двух тысяч лет назад в Греции знаменитый математик Эратосфен придумал очень остроумный способ выискивать простые числа. Он предложил для этого применять особое решето, сквозь которое все ненужные числа будут просеиваться, а все нужные – простые – оставаться.

– Совсем как промывают золото, – сказал Олег. – Песок уходит, а золото остаётся.
– Прекрасное сравнение! – воскликнула Четвёрка. – Простые числа – это действительно наше золото. Итак, – продолжала она, – чудесное решето назвали решетом Эратосфена. Теперь посмотрим, как оно действует. Давайте запишем все числа, начиная с двойки, до…Впрочем, «до» я сказала не подумав. Ведь числам нет конца. Итак, расставим числа, начиная с двойки, по порядку:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 и так далее.
Такой ряд чисел называется натуральным рядом. Выбросим из этого ряда те числа, которые наверняка не являются простыми, то есть делятся не только на себя, но и на другие числа. Сперва отсеем числа, которые делятся на два. Какие это числа?
– Я знаю, – сказала Таня. – Все чётные числа делятся на два.
– Верно. Отсеем все чётные числа, кроме двойки, и тогда останется вот что:
2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41 и так далее.
Теперь отсеем все числа, которые делятся на три.
Это 6, 9, 12, 15, 18, 21… Но все чётные – 6, 12, 18… – мы уже раньше отбросили. Что же теперь останется в ряду? Вот что:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53…
Видите, всё меньше и меньше остаётся составных чисел в решете.
А дальше выбросим все числа, которые делятся на пять, потом те, что делятся на семь… Так постепенно из ряда натуральных чисел будут выбывать составные числа и оставаться простые, то есть те, которые делятся только сами на себя и на единицу.
Теперь мы уже знаем очень много простых чисел.
Вот первые из них:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97…
Эти-то числа, как видите, и стоят на левой стороне аллеи.
– Очень просто! – заявил Сева. – Я дома тоже устрою такую аллею и выпишу все-все простые числа…
– Не торопитесь, – перебила его Четвёрка. – Это не так легко: выписать все простые числа. Ведь чем больше число, тем сложнее определить – простое оно или составное. Если бы мы знали, в каком порядке они следуют друг за другом, это было бы замечательно! К сожалению, никто ещё до сих пор этот порядок установить не сумел. То простые числа стоят совсем рядом, их тогда называют близнецами, то между двумя ближайшими простыми числами образуется огромное расстояние, и оно сплошь заполнено составными числами. Люди очень далеко прошли по этой аллее, они знают множество простых чисел, и всё-таки не все!
– А может быть, дальше и нет ни одного простого числа? – усомнился Сева.
– Нет! Не может быть! – ответила Четвёрка. – Уже давным-давно один великий учёный, тоже грек, Эвклид, предшественник Эратосфена, доказал, что конца простым числам нет. Вот почему так озабочен наш добрый карликан! У него очень много дела. Только вчера в конце аллеи он увидел огромное простое число, а сегодня за этим числом стоит ещё большее: 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727. А завтра, может, появится новое, если люди его вычислят. И так без конца. Есть отчего потерять голову. И говорить об этом тоже можно без конца… Давайте-ка лучше займёмся поисками бедного Нулика, – закончила свой рассказ Четвёрка.
– А мы как раз идём для этого в Рим, – сказал Сева.
– За Нуликом в Рим?! – удивилась Четвёрка. – Его там не может быть!
– А мы всё-таки пойдём! – упорствовал Сева.
– Как вам будет угодно! – согласилась наша проводница. – Желание гостя для нас закон.

…И совершенство

Мы свернули на маленькую улочку.
– Какая прелестная улица! – захлопала в ладоши Таня.
– Но это же улица Совершенства, – пояснила Четвёрка. – Здесь живут очень немногие числа. Но зато все они совершенные. Их так и зовут – совершенные числа. В отличие от простых, они-то уж обязательно делятся на всякие другие числа.
– Значит, они составные? – спросила Таня.
– Безусловно, составные. Но особенные. Совершенные числа равны сумме тех чисел, на которые делятся. Разумеется, кроме самих себя. Возьмём совершенное число – 6. На какие числа делится это число? На 1, на 2 и на 3. Теперь сложим эти три числа:
1 + 2 + 3 = 6
– Изумительно! – воскликнула Таня.
– Или вот другое совершенное число – 28, – продолжала Четвёрка. – Помните, какие у него младшие делители?
– Помним, – ответила Таня. – 1, 2, 4, 7 и 14.
– Сложите их:
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
– Здорово! – закричал Сева.
– Ага! – догадался Олег. – Значит, совершенные числа равны сумме всех своих младших делителей.
– Молодец! – похвалила Четвёрка.
– А много ли на этой улице совершенных чисел? – поинтересовался Сева.
– К сожалению, – сокрушённо вздохнула Четвёрка, – всего двадцать четыре: 6, 28, 496, 8 128, 130 816… Дальше они растут всё быстрее и быстрее, а вычислять их всё сложнее и сложнее. Эта улица только ещё заселяется. Если вам доведётся найти новое совершенное число, скажите ему, что здесь его ждут с нетерпением.
– Никогда не думал, что в Карликании так много интересных чисел, – задумчиво сказал Сева.
– Ах, это только малая крупица наших богатств! – с гордостью ответила Четвёрка. – Многим не хватает жизни, чтобы познакомиться со всеми. Вот, например, недалеко отсюда живут неразлучные друзья. Они так любят друг друга, что делятся всем, что имеют. Это числа 220 и 284. Они замечательны тем, что каждое из них равно сумме младших делителей другого. Какие делители у числа 284? 1, 2, 4, 71, 142. А у числа 220 делители: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110. Попробуем сложить делители каждого числа:
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220,
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284.
Вот почему эти числа называются дружественными.
Недаром знаменитый греческий математик Пифагор сказал: «Друг – это второе я!» – и при этом сослался на числа 220 и 284.
А ведь таких чисел-друзей много!
Тут завязался разговор о дружбе, о верности. И мы не заметили, как очутились за городом.

Развалины Рима

Мы шли довольно долго, пока наконец на холме не показался Рим. Он был окружён древними полуразрушенными крепостными стенами. Под ними находился ров, некогда наполненный водой, а теперь высохший и густо заросший сорными травами. Шаткий деревянный мост был поднят. Покосившиеся ворота заперты. Их охраняла дряхлая волчица.
– Здешние римляне утверждают, – не без юмора сказала Четвёрка, – что это прапрапраправнучка той самой волчицы, которая вскормила двух близнецов: Ромула и Рема – основателей древнего Рима.
– Смотрите, смотрите, – закричал Сева, – у них на башне гусь!
– Может быть, и это прапрапраправнук тех гусей, которые Рим спасли? – предположила Таня, с интересом рассматривая забавный флюгер.
– Как это гуси могли Рим спасти? – возмутился Сева.
– Очень просто, – ответил Олег. – Гуси загоготали как раз тогда, когда враги подобрались к спящему городу. Воины проснулись и прогнали неприятеля.
Мы с опаской подошли ко рву. По правде говоря, нас смущала волчица.
– Не бойтесь, – улыбнулась Четверка, – она уже давно никого не трогает.
И действительно, волчица широко раскрыла пасть и… зевнула.
В городе нас, очевидно, заметили. Из широкой щели в воротах выглянула и тотчас же скрылась какая-то тощая фигурка, похожая на спичку. Следом за ней стали высовываться другие спички.
Через некоторое время на башне показалась спичка с какой-то длинной трубой. Она приложила её ко рту, и… из трубы вылетели две перепуганные мышки. Послышались хриплые звуки, напоминающие рёв осла.
Вслед за этим с невероятным скрипом и скрежетом медленно опустился мост через ров – точь-в-точь древний старик, суставы которого срослись от долгой неподвижности.
Между тем за воротами происходила странная возня. Похоже было, что огромным ключом пытаются открыть ржавый замок, но это никак не удаётся.
Но вот ветхие петли не выдержали – ворота, так и не раскрывшись, плашмя упали на землю, и мы увидели большую площадь.
Сквозь каменные плиты пробивалась трава. На нас пахнуло запахом плесени и запустения.
– Ничего не поделаешь – древность! – вздохнул Сева. Но что это?
Из-за поворота показалась четвёрка полудохлых лошадей, тащившая весьма странное сооружение на двух огромных вихляющихся колёсах. По обе стороны этой развалюхи выстроились целые полчища спичек, охранявшие своего предводителя – старичка, повисшего на костылях. Его скрюченные подагрой ноги касались друг друга носками. Вся его нелепая фигура напоминала букву «М».
Старик обратился к нам с длинной, высокопарной речью на латинском языке, из которой мы поняли только, что нас приглашают войти в город.
– Идите, – сказала Четвёрка, – а я подожду вас здесь.
– Как, вы нас покидаете? – огорчились ребята.
– Лучше мне туда не ходить, – пояснила Четвёрка. – Римляне не любят жителей Арабеллы. Они нам завидуют. Люди мало пользуются римскими цифрами, а мы всегда нарасхват.
Мы вошли в город. Он был запущенный и бедный.

– Я-то думала, что мы увидим Колизей, – сказала разочарованно Таня, – гладиаторов, львов, а тут…
Сразу же выяснилось, что римляне не умеют говорить на нашем языке. Они засуетились и стали искать переводчика. Он у них был только один, и его никак не могли добудиться.
Наконец привели заспанную спичку, которая долго зевала. Это и был переводчик.
После многих церемоний, сопровождавших знакомство, Сева наконец задал самый главный вопрос:
– Нет ли у вас Нулика?
– Повторите, пожалуйста, ещё раз, – попросил переводчик. – Я не расслышал!
– Я спрашиваю: нет ли у вас Нулика?
Переводчик пренебрежительно усмехнулся:
– Какого Нулика? Вы, наверное, говорите о том маленьком кружочке, который неизвестно для чего живёт в Арабелле и ровно ничего из себя не представляет? Нет, нет, у нас нет нуликов! Они совершенно бесполезны. Кроме того, никогда не разберёшь, где у них начало, а где конец. Мы, римляне, признаём только прямые линии. Это очень удобно. Сразу видно, где ноги, где голова.
– Как же вы составляете числа, например десять, сто, если у вас нет нуликов?
– Всё это можно изобразить одними палочками.
– Даже большое число?
– Даже большое. Смотрите.
Переводчик хлопнул в ладоши, и стоявшие на площади спичечные воины мгновенно образовали несколько правильных рядов.
– Как физкультурники на стадионе, – заметил Сева.
– Каждый из этих воинов, – пояснил переводчик, – единица. Ничего более. Но из этих единиц я могу составить всё, что угодно. Сейчас я заставлю их превратиться в двойки. Раз, два! – скомандовал он.

На площади произошла перегруппировка. Все спички расположились парами.
– Теперь вы видите перед собой число два. Прошу дальше. Раз, два, три!
Не успели мы глазом моргнуть, как в каждом ряду стояло по три спички.
– Вот вам и число три, – сказал переводчик.
– А четыре? – спросила Таня.
– Сначала познакомьтесь с нашей пятёркой, – таинственно ответил переводчик и снова подал команду.
Спички опять перегруппировались по две, вплотную придвинулись друг к другу и отклонились в стороны.
Мы увидели фигуру, которую у нас обычно называют галочкой, – V.
– Теперь нетрудно получить и четвёрку и шестёрку, – продолжал переводчик. – Поставим палочку слева от пятёрки, получим четыре – IV, поставим её справа, получим шесть – VI.
– Значит, всё дело в том, – догадалась Таня, – чтобы из пятёрки либо вычесть единицу, либо прибавить. Если единица слева, значит, её надо вычесть, если справа – надо прибавить.
– Понимаю! – воскликнул Олег. – Если приставить к пятёрке справа две палочки, будет семь, а три палочки – восемь.
– Мы так и поступаем. Видите, как просто, – с гордостью сказал переводчик.
– Тогда я знаю, как получить девятку, – заявил Сева. Переводчик посмотрел на него насмешливо:
– Уж не собираетесь ли вы для этого прибавить к пятёрке четыре палочки? Эту ошибку делают многие. Между тем девятку у нас изображают по-другому. Ведь она стоит ближе к десятке, чем к пятёрке. Значит, проще поставить единицу слева от десятки – вот вам и девятка!
– Но как у вас изображают десятку? – поинтересовался обескураженный Сева.
Переводчик подал знак, и птички-спички превратились в ловких акробатов. Одни пятёрки перевернулись и стали кверху ногами, другие легко вскочили на них – X.

– Здорово! – воскликнул Сева.
– Красиво и просто! – подтвердил переводчик. – А дальше наше обычное правило: единица слева – девять, IX; единица справа – одиннадцать, XI. Потом XII, XIII, XIV, XV, XVI… Затем две десятки – двадцать, XX; три десятки – тридцать, XXX…
– Четыре десятки – сорок, – в тон ему продолжал Сева.
– Стоп! – сказал переводчик.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11