Возразить против этого было нечего: он, как всегда, оказался прав.
Мы очутились в светлом зале. Сначала нам показалось, что там никого нет. Вдруг Сева дёрнул Таню за руку и указал глазами на маленькую Пятерку, стоявшую у стены.
Тихим, неуверенным голоском Пятёрка что-то говорила. Но кому? Ведь рядом совершенно никого не было!
И вдруг раздался голос невидимого собеседника. Это было как гром с ясного неба. Мы невольно посмотрели на стеклянный потолок.
Голос на миг умолк и сейчас же загремел снова, очевидно обращаясь к нам:
– Здравствуйте, люди! Мы вам рады! Меня зовут Автомат. Я обучаю эту достойную карликаншу делению целых чисел. Она собирается стать учительницей.
И тут мы увидели, что Пятерка стоит у огромной машины, занимающей целую стену. Посредине светился серебристый экран, окружённый разноцветными лампочками, которые то вспыхивали, то гасли. Внутри что-то постукивало, потрескивало. Иногда раздавался тоненький мелодичный звонок.
– Вы разрешите мне продолжить занятия? – любезно осведомился Автомат.
– Пожалуйста, – ответил Сева. – Мы тоже с удовольствием поучимся делению.
– Как, вы ещё не умеете делить? Хр-пр-тр! Извините, это моя самая маленькая шестерёнка повернулась не в ту сторону. Вы её расстроили.
– Нет, вы меня не поняли, вообще-то мы делить умеем.
– Ах, умеете? Ну, тогда совсем другое дело. Не хотите ли решить примерчик? Я как раз собирался предложить его моей юной ученице.
На экране засветились числа:
135 227 : 9 = ?
– Позвольте мне, – сказала Пятёрка. – Начнём по правилам: сначала делим тринадцать на девять…
– Хр-пр-тр! Чтобы ответить на мой вопрос, вовсе не нужно делить. Я собирался вас спросить: делится ли это число на девять? Да или нет?
– Как, вы хотите, чтобы мы сказали это сразу, не разделив числа? – изумился Сева.
– Вот именно!
– Но это совершенно невозможно! – воскликнула Таня.
– Отчего же? – с достоинством ответил Автомат. – Для этого стоит только взглянуть, какая лампочка загорелась над экраном. Посмотрите-ка.
– Красная! – крикнула Пятёрка.
– Ну вот, всё ясно. Раз загорелась красная, значит, это число на девять не делится. А теперь взгляните ещё раз на экран.
Там уже стояло совсем другое число:
264 852 : 9 = ?
– А теперь зажглась зелёная лампочка, – сообщила Пятёрка.
– Так и должно быть, потому что это число делится на девять.
– Это же очень просто, – сказала Пятёрка, – красная лампочка – число не делится на девять, зелёная – делится на девять.
– Ха-ха-ха! – засмеялся Автомат. – Это просто потому, что лампочки зажигаю я. А попробуйте-ка зажечь сами нужную лампочку. Ха-ха-ха!
Маленькая Пятёрка покраснела до ушей.
– Ну, не огорчайтесь, я пошутил, – утешил её Автомат. – Дело в том, что у чисел есть признаки, по которым можно с первого взгляда определить, желают ли они делиться на некоторые числа или не желают. К сожалению, я располагаю очень небольшим набором таких признаков. Поэтому, если кто-нибудь из вас найдёт новый, неизвестный нам признак делимости, немедленно сообщите мне. Это будет замечательно! Вы даже не можете себе представить, какую большую пользу принесёте людям. Мне известны признаки делимости чисел на 2, на 3, на 4, на 5, на 6… Даже на 10 и на 11. Ещё несколько признаков – и это всё!
– Расскажите о каком-нибудь признаке, – попросила Пятёрка. – Это очень интересно.
– В таком случае вернёмся к тем двум числам, которые я только что показывал на экране. Напомню их.
На экране появились числа: 135 227 и 264 852.

Как видите, каждое число состоит из шести цифр. Будем эти цифры принимать за числа. И поставим между ними знаки плюс.
На экране под первым числом появилась сумма:
1 + 3 + 5 + 2 + 2 + 7 = 20.
– А теперь скажите: делится ли число двадцать на девять? Нет, не делится. Значит, и все число тоже не делится на девять. Попробуем проделать то же самое со вторыми числом.
На экране снова засветилась сумма:
2 + 6 + 4 + 8 + 5 + 2 = 27.
– Видите, получилось двадцать семь. А это число как раз делится на девять. Значит, и всё число тоже делится на девять. Вот каков признак делимости на девять. Его очень легко изложить так: число делится на девять, если сумма его цифр делится на девять.
– В таком случае, – сказал Олег, – я знаю и признак делимости на три. Ведь девять – это трижды три! Значит, если сумма цифр числа делится на три, то и само число тоже делится на три.
– Совершенно верно! Вы будете великим математиком! – торжественно изрёк Автомат.
– Я тоже знаю один признак: если сумма цифр числа делится на пять, то и число делится на пять, – сказал Сева. Ему тоже хотелось стать великим математиком.
– Ни в коем случае, ни в коем случае! – воскликнул Автомат, возмущённо замигав всеми своими лампочками. – Тр-пр-хр! Разве можно мерить всех одной меркой? Ведь число двадцать три не делится на пять, хотя сумма его цифр равна пяти. Признак делимости на пять очень прост: на пять делятся только те числа, которые оканчиваются пятёркой или нулём. Например, 75, 210, 625, 4 168 596 895 и так далее.
– Как просто! – засмеялась Таня.
– Есть признаки и посложнее. Например, признак делимости на одиннадцать.
– Ах, пожалуйста, расскажите об этом признаке! – попросила Пятёрка.
– Хорошо. Слушайте меня внимательно. Возьмём число
175 362 121 693.
– У-у-у! – протянули ребята. – Это число и прочитать трудно.
– Хр-пр-тр! Сто семьдесят пять миллиардов триста шестьдесят два миллиона сто двадцать одна тысяча шестьсот девяносто три! – единым духом выпалил Автомат. – Ничего особенного. Посмотрим, делится ли оно на одиннадцать. Расположим цифры этого числа таким образом:

– Видите, я каждую вторую цифру опустил чуть пониже. А теперь поставим в каждом ряду между цифрами знаки плюс. Получаем:
1 + 5 + 6 + 1 + 1 + 9 = 23,
7 + 3 + 2 + 2 + 6 + 3 = 23.
В обоих рядах сумма цифр одинакова. А это и значит, что число непременно разделится на одиннадцать.
– Неужели? – усомнился Сева.
– Проверьте, – предложил Автомат.
– Это было бы слишком долго, – ответил Сева.
Тогда Олег показал нам страничку из блокнота, на которой он уже произвёл деление.
– Совершенно правильно! – сказал Автомат. – Вы действительно будете хорошим математиком.
А на экране вспыхнули числа:
175 362 121 693 : 11 = 15 942 011 063.
– Вот вам и ответ: пятнадцать миллиардов девятьсот сорок два миллиона одиннадцать тысяч шестьдесят три.
– Значит, на одиннадцать делятся только такие числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, равна сумме цифр, стоящих на чётных? – спросил Олег.
– Нет, не только эти числа делятся на одиннадцать. Есть более общий признак делимости. Вот, например…
В это время раздался продолжительный звонок, возвестивший конец рабочего дня. Автомат едва успел с нами попрощаться, как все его лампочки погасли. Жаль!
Мы вышли на улицу. Теперь надо было поспеть на площадь Радостей и Огорчений, где нам назначила свидание Четвёрка с бантиком.
На этой площади ежедневно приземлялись воздушные корабли, возвращающиеся от людей в Карликанию.

Неожиданное огорчение

Мы пришли вовремя. Первая ракета только что приземлилась. Спустили трап, и тысячи путешественников очутились в объятиях своих родных и друзей.
Рядом с нами какая-то счастливая мама-Пятёрка обнимала свою младшую дочку.
– Мне было так без тебя скучно! – жаловалась она.
– А мне было так весело! – щебетала дочка. – Нас послали к одному архитектору – ему поручили строить дома в новом городе. Он долго думал: поскольку этажей должно быть у этих домов? То возьмёт Четвёрку, то Девятку. А потом посмотрел на меня и сказал: «Дома будут пятиэтажные!»
– Ах, ты моя красавица! – умилилась мать, но тут же ахнула: – Где это ты так перепачкалась? Хороша красавица!
– Это один неловкий чертёжник пролил на меня пузырёк с тушью. Я уж оттирала-оттирала резинкой, не сходит.
Мимо важно прошли трое карликан, громко распевая:
– Ту-ту-ту… ту-ту-ту! Это были цифры 1, 0, 4.
– Отчего они так важничают? – спросил Сева.
– Разве вы не узнали этих трёх героев? – откликнулась шагавшая за ними карликанша. – Их портреты вывесили сегодня на реактивном самолёте. Среди них и мой сын. Этот самолёт называется «Ту-104». Теперь они только и знают, что поют: «Ту-ту-ту… ту-ту-ту!»
– А я была в цирке, – рассказывала своей маме крохотная Двойка. – Я видела, как дядя в рыжем парике делал двойное сальто. Можно, я тоже попробую сделать дома двойное сальто? Ведь я Двойка – у меня должно выйти.
– Я вот нашлёпаю тебя, – ответила мама, – и думать перестанешь о своём сальто! Ты что, хочешь голову сломать?
Снова загудели моторы, и на площадь опустился многоместный самолёт. Из него стали выходить пассажиры. Они прижимали к глазам маленькие белые платочки.
Сразу же все на площади перестали смеяться и сделались грустными. Площадь Радостей превратилась в площадь Огорчений.
– Какое несчастье! Какое горе! – причитала какая-то Девятка, спускаясь по трапу. – Пропал, пропал бедный маленький Нулик. Утром на площади Добрых Напутствий с нами было сорок три нулика. Потом нас отправили в школу, в третий класс. Там было так хорошо, так весело! Школьники учились делить целые числа. Мы перебегали с парты на парту, из тетради в тетрадь. А потом, когда мы сели в самолёт, чтобы возвращаться домой, у нас оказалось только сорок два нулика! Один пропал. Какое горе!

– Это мой сыночек пропал! – заголосила знакомая толстая Восьмёрка. Она уже успела пересмотреть всех прибывших нуликов. – Почему я не поехала с ним? Что я буду без него делать?
– Может быть, он ещё вернётся? Может быть, он сел по ошибке в другой самолёт? – утешали бедную маму.
– А может быть, – сказала наша Четвёрка с бантиком, – он и не уезжал отсюда? Он у вас такой баловник! Утром при посадке спрятался, а потом убежал в кино.
– Нет, скорее всего, – предположила какая-то Единица, – на футбольный матч.
– А может быть, он в цирке делает двойное сальто? – сказала крошка Двойка.

– Бедный мой сыночек! Где ты сейчас? – не унималась мама-Восьмёрка.

– Успокойтесь, – сказала Четвёрка, – найдётся ваш Нулик. Утро вечера мудренее. Если он не появится сегодня, завтра перевернём всё Арифметическое государство и найдём его обязательно.
В это время объявили о прибытии самолёта с малышами. Четвёрка озабоченно пересчитала своих питомцев и облегчённо вздохнула. Они оказались целы и невредимы.
Все вместе мы возвращались обратно. По дороге малыши наперебой рассказывали о своих приключениях.
Мы дошли до Числовой площади, где пожелали друг другу спокойной ночи и расстались.
Так закончился наш первый день в Карликании.



День второй




Простота…

Проснувшись утром, мы обнаружили, что Сева исчез. Так как все знали его непоседливый характер, никто не стал особенно беспокоиться.
Мы были правы. Через некоторое время он прибежал огорчённый: Нулик так и не нашёлся!
Сева нарочно встал пораньше, чтобы разузнать в городе о пропавшем малыше.
– Давайте сразу же после завтрака отправимся на поиски, – предложила Таня.
– Верно! – обрадовался Сева. – Я слышал, в Карликании есть какое-то местечко. Называется Рим.
– Почему – местечко? Рим – это город, он в Италии, – сказала Таня.
– В Италии один Рим, а в Карликании другой! – отрезал Сева.
– Рим – древнее государство, – сказал Олег. – Его уже давно не существует, а вот остатки Рима, наверное, сохранились здесь.
Я слушал, не вмешиваясь в разговор. Сева спросил меня:
– Не попал ли Нулик в Рим?
– Он не мог туда попасть, – ответил я, – ему там совершенно нечего делать.
– Почему вы знаете?! – кипятился Сева. – Искать – так всюду.
– Ну что ж, я не прочь, – согласился я. – Кстати, познакомимся с обитателями этого «местечка».
Мы пересекли Числовую площадь, прошли кусочек Автоматической улицы и свернули налево.
Перед нами была бесконечная аллея. У входа в неё сидел старый-престарый карликан и смотрел в телескоп.
– Не видно, опять не видно… – бормотал он себе под нос.
– Чего не видно? – заинтересовался Сева. – Дайте мне взглянуть. Может быть, я увижу.
– Ну как же вы можете увидеть то, чего не видно? Не видно конца! Ещё только вчера я заметил в самом конце аллеи огромнейшее число и подумал: «Ну вот, теперь всё. Дальше ничего не может быть». А сегодня взглянул: за тем числом ещё число, да больше вчерашнего!
– А что это за число? – спросила Таня.
– Так вам сразу и объясняй! Какие прыткие! Лучше пройдитесь по этой аллее и глядите во все глаза. Может быть, тогда и поймёте. Может быть!… – И старый ворчун уткнулся в свой телескоп.

Мы пошли по левой стороне аллеи и вдруг услышали команду:
– По порядку номеров ра-а-а-ассчитайсь!
– Это что же, утренняя перекличка? – спросил Сева.
Стоящие по левую сторону числа стали выкрикивать:
– Два, три, пять, семь, одиннадцать, тринадцать…
Голоса становились всё глуше, уходя вдаль.
– Это уже не порядок, а беспорядок номеров, – заметила Таня.
Однако числа называли себя точно в той последовательности, в какой они стояли:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 и так далее.
– Что за сумасшедшие числа? – недоумевал Сева.
– Сами вы сумасшедшие! – возмутился старый карликан. – Да ещё и невежды. Неужели вы не прочитали надписи при входе?
– Нет, – растерялся Сева.
– Ведь это же аллея Простых Чисел! Поняли?
– А что такое простые числа?
– Посмотрите направо, – сказал карликан, – может быть, это прояснит вам мозги.
По правую сторону аллеи стояли совсем другие числа: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27 и так далее.
– Это как раз те числа, – сказала Таня, – которых недостаёт на левой стороне аллеи.
– А им туда нельзя! – захихикал карликан. – Это же составные числа, а не простые.
– Зачем же их здесь держат?
– У меня, кажется, начинает болеть печень от ваших нелепых вопросов! Разве вы не видите, что над вами? Нельзя смотреть только под ноги, иногда не мешает и наверх поглядеть.
Мы подняли головы.
– Волейбольная сетка! – ахнул Сева.

В самом деле, над всей аллеей была натянута гигантская сетка.
– Опять вы сказали чепуху! – рассердился карликан. – При чём здесь волейбол? Это вам не игрушки! И там вовсе не сетка, молодой человек, а решето!
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11