Гомбо играл в эту игру с партнером, но оба вынуждены были прекратить игру под давлением непредвиденных обстоятельств. Возникла проблема: как разделить деньги, стоявшие на кону? Простое решение состояло бы в том, чтобы всю сумму, стоявшую на кону, забрал тот из партнеров, который успел набрать больше очков, но Гомбо спрашивал у Паскаля, не существует ли более справедливого способа разделить деньги. Паскалю было необходимо вычислить вероятность каждого из партнеров на выигрыш в случае продолжения игры в предположении, что каждый партнер набирал бы последующие очки с одинаковой вероятностью. Деньги, стоявшие на кону, следовало бы поделить пропорционально вычисленным вероятностям.
До XVI века законы вероятности определялись исходя из интуиции и опыта игроков, но Паскаль затеял переписку с Ферма с целью открыть математические правила, которые более точно описывают законы случая. Три столетия спустя Бертран Рассел так прокомментировал этот явный оксиморон: «Как только мы осмеливаемся говорить о законах случая? Разве случай — не антитеза всякому закону?»
Французы исследовали задачу Гомбо и вскоре поняли, что она сравнительно проста и ее можно строго решить, определив все потенциальные исходы игры и приписав каждому исходу соответствующую вероятность. И Паскаль, и Ферма сумели независимо решить задачу Гомбо, но их сотрудничество ускорило решение и позволило им глубже исследовать другие, более тонкие и трудные, вопросы теории вероятностей.
Задачи теории вероятностей иногда кажутся парадоксальными, потому что математическое решение (правильный ответ) нередко не согласуется с интуицией. Такие провалы интуиции могут показаться удивительными, поскольку «выживание наиболее приспособленного» должно было оказать сильное эволюционное давление на развитие мозга, способного от природы анализировать проблемы теории вероятностей. Можно представить себе наших предков, подкрадывающихся к олененку и решающих, стоит или не стоит им нападать на него. Велик ли риск, что олень бросится защищать свое чадо и нападет на обидчика? С другой стороны, какова вероятность, что представится более удобный случай добыть свежее мясо на обед, если нападение на олененка считать излишне рискованным? Талант к оценке вероятностей должен быть неотъемлемой частью нашей генетической структуры, и тем не менее наша интуиция нередко заставляет нас делать неверные заключения.
Например, в сильнейшем противоречии с интуицией находится задача о вероятности совпадения дней рождения. Представьте себе футбольное поле, на котором находятся 23 человека: игроки двух команд (22 человека) и судья. Какова вероятность, что у двух из них дни рождения совпадают?
Поскольку речь идет о 23 людях, а выбирать приходится из 365 дней, кажется маловероятным, чтобы у кого-нибудь из тех, кто находится на футбольном поле, дни рождения совпали. Если попросить кого-нибудь оценить вероятность совпадения числом, то большинство людей оценят эту вероятность не выше 10 %. В действительности же правильный ответ гласит: чуть выше 50 %. Иначе говоря, если взвешивать на весах теории вероятностей, то вероятность совпадения дней рождения все-таки чуть-чуть больше, чем вероятность того, что никакие два дня рождения не совпадают.
Причина столь высокой вероятности совпадения двух дней рождения заключается в том, что число способов, которыми людей можно разбить на пары, гораздо больше числа самих людей. Если требуется найти совпадающие дни рождения, то необходимо знать не количество людей, а число пар, на которые их можно разбить. Так как число людей на футбольном поле равно 23, то число пар равно 253. Например, первого из находящихся на футбольном поле можно включать в одну пару с любым из 22 других, что дает для начала 22 пары. Второму можно подобрать в пару любого из 21 остальных людей на поле (поскольку мы уже сосчитали второго один раз, когда подсчитывали число пар с участием первого, число пар со вторым следует уменьшить на единицу), и мы получаем еще 20 пар. Продолжая рассуждать так же, мы в итоге получим 253 пары.
То, что вероятность совпадения дней рождения в группе из 23 людей оказывается больше 50 %, противоречит интуиции. Тем не менее с точки зрения математики ответ правильный. Именно на такие «странные», противоречащие интуитивным, представления опираются букмекеры и игроки, используя опрометчивость азартных людей. В следующий раз, когда вам случится быть на заседании или званом обеде, на котором окажется 23 участника, можете заключить пари, что среди присутствующих найдутся два человека, дни рождения которых совпадают. Следует иметь в виду, что в группе из 23 человек вероятность совпадения двух дней рождения лишь слегка превышает 50 %, но с увеличением численности группы вероятность совпадения быстро увеличивается.
Ферма и Паскаль заложили основы тех правил, которым подчиняются все азартные игры и которые могут быть использованы игроками, чтобы выработать идеальную стратегию игры и стратегию заключения пари. Кроме того, обнаруженные Ферма и Паскалем законы теории вероятностей нашли приложения в целом ряде областей человеческой деятельности — от спекулятивной игры на фондовой бирже до оценивания вероятности ядерной катастрофы.
Паскаль был даже убежден, что мог бы применить свои теории для обоснования веры в Бога. Он утверждал, что «азарт, который испытывает игрок при заключении пари равен произведению той суммы, которую он может выиграть, и вероятности выигрыша». Далее Паскаль утверждал, что возможный выигрыш вечного блаженства обладает бесконечно большой ценностью, а вероятность попасть в царство небесное, если вести добродетельную жизнь, заведомо конечна. Следовательно, по определению Паскаля, религия — игра бесконечно азартная и стоящая того, чтобы в нее играли, так как произведение бесконечно большого потенциального выигрыша на конечную вероятность бесконечно велико.
Разделяя с Паскалем честь быть отцом-основателем теории вероятностей, Ферма по праву может также считаться одним из основателей еще одной области математики — дифференциального исчисления. Дифференциальное исчисление позволяет вычислять скорость изменения, или производную, одной величины относительно другой (например, скорость изменения расстояния относительно времени, известную просто как скорость). Для математиков величины, как правило, абстрактны и неосязаемы, но труды Ферма имели своим следствием подлинный переворот в физике. Математика Ферма позволила физикам лучше понять, что такое скорость, и какова ее связь с другими фундаментальными величинами, такими, как ускорение — скорость изменения скорости относительно времени.
Дифференциальное исчисление оказывает сильное влияние на экономику. Инфляция — это скорость изменения цены, известная как производная цены. Кроме того, экономистов часто интересует скорость изменения инфляции, известная как вторая производная цены. Эти термины часто используются политиками, и математик Хуго Росси однажды заметил: «Осенью 1972 года президент Никсон заявил, что скорость роста инфляции пошла на убыль. Это был первый случай, когда правящий президент использовал третью производную, чтобы увеличить свой шанс на переизбрание».
На протяжении более двух столетий принято было считать, что Исаак Ньютон открыл дифференциальное исчисление независимо от Ферма, не зная о его работах. Но в 1934 году Луис Треншар Мур обнаружил заметку, которая позволила внести в вопрос о приоритете полную ясность и воздать Ферма по заслугам. Ньютон писал, что, разрабатывая дифференциальное исчисление, он опирался на «метод построения касательных месье Ферма». С XVIII века дифференциальное исчисление использовалось для описания закона всемирного тяготения Ньютона и его законов механики, зависящих от расстояния, скорости и ускорения.
Одного лишь участия в создании дифференциального исчисления и теории вероятностей было бы более чем достаточно, чтобы обеспечить Ферма место в зале славы математики, но его величайшее достижение лежит в другой области математики.
Дифференциальное исчисление используется при посылке космических кораблей на Луну, теория вероятностей — при оценке рисков страховых компаний, но Ферма питал глубочайшую любовь к разделу, который не обещал никаких приложений — теории чисел. Ферма был обуян страстью — ему хотелось во что бы то ни стало понять свойства чисел и отношения между ними. Теория чисел — наиболее чистая древнейшая область математики, и Ферма продолжал развивать этот раздел математики, доставшийся ему в наследство от Пифагора.
Эволюция теории чисел
После смерти Пифагора представление о математическом доказательстве быстро распространилось по всему цивилизованному миру. Два столетия спустя после того, как его Академия сгорела до основания, центр математических исследований переместился из Кротона в город Александрию. В 332 году до н. э., покорив Грецию, Малую Азию и Египет, Александр Македонский решил построить столицу, которая должна была стать самым величественным городом мира. Александрия действительно стала прекраснейшим городом и к тому же, хотя и не сразу, научным центром. Только после смерти Александра Македонского, когда на египетский трон взошел его единоутробный брат Птолемей I, Александрия стала тем местом, где возникло первое в мире высшее учебное заведение — Академия. Математики и другие интеллектуалы, привлеченные репутацией Академии, и, еще в большей степени, Александрийской библиотеки, стали перебираться в культурную столицу Птолемея I.
Замысел создания Библиотеки принадлежал Деметрию Фаларею, непопулярному оратору, который был вынужден бежать из Афин.
После долгих странствий он нашел прибежище в Александрии. Фаларею удалось внушить Птолемею I мысль о том, что следует собрать все великие сочинения, а вслед за книгами в Александрию потянутся и великие умы. Когда в хранилищах Александрийской библиотеки оказались собраны сочинения из Египта и Греции, специальные агенты разъехались в поисках сокровищ знания по Европе и Малой Азии. Ненасытный аппетит собирателей Библиотеки ощущали на себе все, кто посещал в ту пору Александрию: при въезде в город у приезжих отбирали всю литературу и передавали писцам. Со всех сочинений те снимали копии, после чего подлинники отправлялись в Библиотеку, а копии с благодарностью возвращались прежним владельцам книг. Тщательное копирование всех сочинений, оказавшихся в багаже прибывающих в Александрию путешественников, вселяет в современных историков надежду, что где-нибудь в мире на чердаке будет обнаружена копия какого-нибудь великого сочинения, считавшегося утерянным. Так, в 1906 году историк науки Гейберг обнаружил в Константинополе такую рукопись — «Метод», в которой содержалось несколько сочинений Архимеда.
Мечта Птолемея I о постройке сокровищницы знания пережила его самого, и к тому времени, когда на троне сменилось несколько представителей династии Птолемеев, Александрийская библиотека уже насчитывала более 600 000 сочинений. Изучая математику в Александрии, математики могли научиться всему, что было известно в мире, а учили их в Академии самые знаменитые ученые Древнего Мира. Первым главой математического факультета был не кто иной, как сам Евклид.
Евклид родился около 330 года до н. э. Подобно Пифагору, Евклид искал математическую истину ради самой математической истины и не занимался поиском приложений своих работ. Легенда рассказывает, что один ученик спросил Евклида, какая польза от математики, которую он изучает. Закончив урок, Евклид обратился к рабу и, указав на ученика, сказал: «Дай ему обол, ибо он желает иметь пользу от того, что изучает». Вскоре этот ученик был изгнан.
Значительную часть своей жизни Евклид провел за написанием «Начал» — учебника геометрии, имевшего наибольший успех за всю историю человечества. Вплоть до XX века «Начала» были вторым бестселлером после Библии. «Начала» состоят из тринадцати книг, часть которых посвящена изложению результатов исследований самого Евклида, а остальные представляют собой компиляцию всех математических знаний его века. Например, результаты исследований членов пифагорейского братства занимают две книги. За столетия, прошедшие после кончины Пифагора, математики изобрели множество разнообразных логических приемов, применимых в различных обстоятельствах, и Евклид искусно использовал в «Началах» все эти методы. В частности, Евклид применил логическое оружие, известное как reductio ad absurdum, или доказательство от противного. Этот метод вращается вокруг довольно хитроумной идеи: чтобы доказать истинность теоремы, прежде всего необходимо предположить, что эта теорема неверна. Далее математик изучает логические следствия того, что теорема неверна. В каком-то пункте в логической цепочке обнаруживается противоречие (например, выясняется, что 2+2=5). Математика питает непреодолимое отвращение к противоречиям. Отсюда делается заключение, что исходная теорема не может быть неверна, т. е. она истинна.
Английский математик Г.Г. Харди кратко выразил дух доказательства от противного в своей книге «Апология математика»: «Reductio ad absurdum, столь любимое Евклидом, — одно из самых прекрасных орудий математика. Это гораздо более тонкий гамбит, чем любая шахматная партия: шахматист может пожертвовать пешкой или даже какой-нибудь фигурой, но математик жертвует партией».
Одно из наиболее известных доказательств Евклида от противного — доказательство существования так называемых иррациональных чисел. По-видимому, иррациональные числа первоначально были открыты пифагорейцами несколькими столетиями раньше, но понятие иррационального числа вызывало у Пифагора столь сильное отвращение, что он отрицал существование иррациональных чисел.
Когда Пифагор провозгласил, что Вселенной управляют числа, он имел в виду только целые числа и их отношения, называемые рациональными числами.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42