При этом — квадратом числа складываемых номеров. Так, сумма чисел первых пяти уток равнялась пяти в квадрате, сумма первых семи — семи в квадрате…— Гениальные утки! — воскликнул я с восхищением.— Не забывайте, что дрессировал их я! — заметил барон.Во время его рассказа Единичка успела нарисовать на бумаге длинную верёвку, а на ней целый ряд уток — каждую под номером.— Взгляните, — сказала она. — Вот в каком порядке летели утки, когда их настигла ваша пуля.Барон взглянул на рисунок и похвалил Единичку за сообразительность. Но ей этого показалось мало, и она заметила, что барон мог бы в этом утином ряду найти ещё одну любопытную закономерность.— Вот, смотрите! Сперва отмечаю первое число в ряду, затем беру сумму двух следующих — второго и третьего, потом сумму трех следующих — четвёртого, пятого и шестого, а дальше четырех, пяти следующих, шести, семи и так до конца. Посмотрите-ка, что получается.Посмотрев, барон так и ахнул:— Ну что за ребёнок! Магистр, я вам искренне завидую. Я был бы счастлив путешествовать с такой способной спутницей.«Какую такую закономерность нашла Единичка в этих числах?» — подумал я и взглянул на бумажку. Но в это время барон вскочил и так сильно ударил себя по лбу, что не только у него, но даже у меня из глаз посыпались искры.— Бам! — вскричал он. — Совсем забыл, что меня дожидаются львы! Им не терпится вступить со мной в схватку. До свидания, друзья!Секунда — и Мюнхгаузен скрылся в непроходимом лесу, а я, опомнившись, обнаружил, что бумажка с Единичкиными расчётами исчезла. Так что придётся вам самим догадываться, что в ней было.А теперь расскажу, с чего все началось и каким образом мы с Единичкой очутились в Тарасконии. Впрочем, может быть, то была и не Тараскония, а какое-то другое местечко? А! Какая разница!Как вы помните, нас пригласили прокатиться в лифте, и не в каком-то обыкновенном, а в лифте имени Альберта Эйнштейна. То была великолепная прогулка! Только сейчас я настолько оправился, что могу про неё кое-что рассказать.Когда мы вошли в совершенно глухую, но просторную кабину, лифт в мгновение ока взлетел… в мировое пространство. Мы летели со скоростью, близкой к скорости света, а это что-нибудь да значит — 300000 километров в секунду! В общем, улетели мы так далеко, что поблизости не оказалось не то что какой-нибудь захудалой звезды, но даже ни одной приличной Галактики. И тут лифт наш остановился и повис в пустоте. Сами понимаете, что раз вокруг нас никаких других небесных тел не было, то и притягивать нас тоже было некому. Поэтому и мы, и все предметы в кабине стали невесомыми. Мы с Единичкой кувыркались в воздухе как хотели! Подбросишь карандаш, а он не падает, а плавает в пустоте. Маятник качнёшь, а он не желает качаться. Прямо, как у Кио в цирке. Ужасно весело! Но неожиданно все предметы, и мы в том числе, попадали на пол. И я так расшиб голову, что… Ну, да это пустяки. Я тут же произнёс:— Эге! Наверное, снизу к нам подкралась какая-нибудь звезда. Вот она и притягивает к себе все, что находится в кабине. И вот почему мы упали на пол!Но Единичка затрясла своими косичками в знак протеста.— Это ещё бабушка надвое сказала!Ох эта Единичка! Не может, чтобы не спорить против очевидности.Я зажал уши ладонями и не стал слушать. Мало ли какую чепуху она скажет! Я-то знаю, что причиной всему — тяготение. Иначе с чего это я сверзился с потолка на пол и набил себе на лбу такую здоровенную шишку?А вскоре наш лифт понёсся обратно на Землю, и мы очутились у подножия какой-то горы. Стрелка с надписью «На Парнас» указывала путь к вершине. Что за чертовщина! Куда это мы попали?Ещё больше удивился я, увидав на скале календарь, из которого узнал, что сейчас VII век… до нашей эры! И тут только меня осенило: мы путешествовали не в лифте, а в машине времени!Теперь самое время изложить, что было на Парнасе, то есть перейти к середине моего рассказа. Но это уж в другой раз. Подождём, пока заживёт моя шишка. Не то напишу ещё что-нибудь не то. Так что до следующего раза. Адье! ШЕСТНАДЦАТОЕ ЗАСЕДАНИЕ КРМ было расширенным — его провели совместно с активом. Мысль эту подал Сева. С некоторых пор он одержим идеей, что математические дарования необходимо выявлять как можно раньше. Ведь самые значительные свои открытия великие математики делали как раз в юные годы. Нелишне будет сказать, что Сева только недавно прочитал книгу о французском математике Эваристе Галуа, который умер всего 21 года от роду, успев, однако, оставить миру свою гениальную работу…Неожиданно активистов на заседание явилось так много (по выражению президента, «столько много»), что в небольшой Севиной комнате буквально негде было повернуться.— «Партер и кресла, все кипит», — объявил, открывая заседание, хозяин дома. — Леди и джентльмены! Действительные и почётные члены Клуба Рассеянного Магистра! Первый вопрос нашего очередного заседания называется: «Любое, любую, в любом!»— Ничего подобного, — нарушил торжественность некий взлохмаченный активист. — Первый вопрос такой: почему Магистр соединил барона Мюнхгаузена с Тартареном из Тараскона?— Отвечаю, — невозмутимо сказал Сева. — Потому что Магистр есть Магистр! А вообще вопросы попрошу задавать в конце заседания. Итак, задумайте каждый какое-нибудь число, запишите его на бумажке и проделайте с ним все то, что предлагал Мюнхгаузен. Ну, а я уж как-нибудь да угадаю, какую цифру каждый из вас зачеркнул. Даю 38 секунд. Начали!Ненадолго наступила тишина. Потом активисты засопели, зашептались…— Время! — железным голосом провозгласил Сева и попросил каждого назвать свой результат.И тут начался такой галдёж, что хоть уши затыкай. Активисты выкрикивали числа, а Сева называл зачёркнутую цифру. Из 28 цифр он угадал… одну! И то чисто случайно. За каждым неправильным ответом следовал мощный взрыв эмоций. Президент даже колокольчик сломал. Когда все кое-как утихомирились, Таня сказала:— Мне кажется, я подметила в задании Мюнхгаузена некоторую закономерность. Если к тем числам, которые сейчас называли наши гости, приписывать зачёркнутую ими цифру, получается число, кратное девяти.Все шумно стали проверять Танино предположение. Она оказалась права. Ей устроили овацию. Однако взлохмаченный активист потребовал доказательства: а ну как все это просто случайность?Но Таня доказательства не знала. Выручил её, как всегда, Олег. Он предложил все действия над задуманными числами записать в общем виде, а вычисления начать с самого начала.— Для быстроты вычисления, — продолжал он, — пусть задуманное число будет четырехзначным. Тогда в общем виде оно запишется так:1000x+100y+10z+t.— В таком случае сумма его цифр, — снова перебил взлохмаченный активист, — равна x+y+z+t.— Правильно, — подтвердил Олег. — А теперь надо вычесть из задуманного числа сумму его цифр:1000x+100y+10z+t-(x+y+z+t), что равно999x+99y+9z.— Смотрите, — вмешалась Таня, — последняя цифра (t) исчезла. Значит, она может быть любой!— Правильно подметила! Остаётся взять девятку за скобки, и сразу станет ясным, что разность кратна девяти:9(111x+11y+z).— До сих пор все верно, — кивнул Нулик, — но ведь дальше эту разность надо ещё умножить на любое число!— Ну и что ж? — удивился Олег. — Если число делится на 9, то на сколько его ни умножай, произведение останется кратным девяти.— Допустим, — упорствовал президент. — Но ведь после того как одна цифра была вычеркнута, остальные переставлялись в ЛЮБОМ порядке.— И это не имеет значения, — успокоил его Олег. — Ведь для того чтобы число делилось на 9, надо, чтобы сумма его цифр тоже делилась на 9. Ну, а от перемены мест слагаемых сумма, как тебе известно, не меняется.Нулик только руками развёл.— Итак, — подытожил Сева (можно подумать, что он сам все доказал), — чтобы угадать зачёркнутую цифру, надо прочитанное вами число разделить на 9, а остаток дополнить до девятки. Это и будет искомая цифра.Самая юная активистка — крохотная девочка в больших очках — попросила проверить правило на задуманном ею числе. Отгадывать зачёркнутое число вызвался Нулик. Девочка назвала число, получившееся у неё после заданных вычислений: 5871.— Зачёркнутая цифра — 6, — сказал президент, подумав.— Правильно, — подтвердила кроха. — Но разъясните ход ваших рассуждений.— С удовольствием! — Нулик даже ножкой шаркнул. — Сложим цифры 5+8+7+1, получим 21. Разделим на 9, получим 2 и в остатке 3. Ну, а для того чтобы тройка стала девяткой, к ней надо прибавить шесть.Все шумно захлопали. Президент раскланялся и предложил провести ещё один эксперимент. Успех явно вскружил ему голову.— Пожалуйста, — как всегда, невозмутимо согласился Олег. — Результат моих вычислений: 603.Нулик взмахнул рукой, как фокусник.Итак, приступаю к отгадыванию. 6+0+3=9. Делю 9 на 9 — получается единица… А где же остаток? — Нулик озабоченно потёр переносицу. — Остатка нет! Постой-постой, какую цифру ты вычеркнул? Или ты ничего не вычёркивал?— Нет, вычеркнул. Девятку! А мог бы вычеркнуть и нуль. А число при этом все равно делилось бы на 9 без остатка. Так что угадать зачёркнутую цифру в данном случае точно невозможно.Президент чуть не заплакал:— В чём же дело?— Просто Магистр (а может быть, и сам барон Мюнхгаузен) забыл предупредить, что вычёркивать можно любую цифру, кроме нуля или девятки — по выбору.— В общем, с первым вопросом все, — заключил Сева. — Переходим к следующему…— Не торопись, — перебил я. — Есть ещё один, притом более простой способ отгадать зачёркнутую цифру. Но для этого надо уметь вычислять однозначную сумму цифр.Все снова загалдели и потребовали разъяснения: что ещё за однозначная сумма цифр?— Всем известно, — сказал я, — что однозначным числом называется число, состоящее из одной цифры, двузначное число состоит из двух цифр и так далее. Так вот, цифры числа надо складывать до тех пор, пока сумма не окажется однозначным числом. Для примера возьмём число 187254683. Сумма его цифр: 1+8+7+2+5+4+6+8+3=44. Теперь найдём сумму цифр числа 44. Это 8. Вот вам и однозначная сумма цифр заданного числа. Так вот, если в прочитанном вам числе вычислить однозначную сумму его цифр и дополнить её до девятки, то это дополнение и будет искомой, то есть зачёркнутой цифрой.Нулик, по своему обыкновению, стал проверять моё правило на примере и выбрал число, названное девочкой в очках: 5871. Однозначную сумму цифр он нашёл правильно: 5+8+7+1=21, далее 2+1=3, дополнение до девяти равно 6. Ура!Ребята снова загалдели. Сева приложил палец к губам:— Эй, вы, потише! А не то сюда весь дом сбежится…Когда все немного успокоились, Олег предложил для вычисления однозначной суммы цифр ещё более короткий способ, чем мой. Он просто-напросто вычёркивал в числе цифры, которые в сумме давали 9. Для этого он воспользовался моим же примером: 187254683. Сначала он вычеркнул 1 и 8, затем 7 и 2, далее 5 и 4, наконец, 6 и 3. Осталась одна цифра — 8!И снова шум, гам, крики «ура!»…— Но самое замечательное, — сказал я, когда активисты наконец усовестились, — что с помощью однозначной суммы цифр можно проверять правильность, а лучше сказать — неправильность некоторых вычислений. Вот, например, сложим числа 138 и 244. Сумма их равна 382. Допустим, мы ошиблись и получили в сумме 381. Произведём проверку. Однозначная сумма цифр числа 138 равна 3, а числа 244 — 1. Сумма этих сумм: 1+3=4. Но так как однозначная сумма цифр числа 381 равна 3, значит, сразу видно, что допущена ошибка. А вот однозначная сумма цифр числа 382 как раз и есть 4. Точно так же можно проверить правильность ответа при умножении и при возведении в степень.Нулик потребовал немедленных доказательств, но из-за позднего времени мы их отложили и перешли ко второму вопросу.К счастью, на него ушло гораздо меньше времени, несмотря на то что активисты галдели по-прежнему.Улучив удобный момент, Сева изловчился и довёл до сведения малопочтенного собрания, как летели утки после выстрела барона Мюнхгаузена.— Вначале, как вы помните, они летели вереницей, по порядку номеров: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Но, услышав выстрел, мигом перестроились и образовали в воздухе острый угол. При этом ясно, что одну сторону угла составляли утки с чётными номерами — 2, 4, 6, 8… а другую сторону — с нечётными: 1, 3, 5, 7, 9… И конечно же, на бечёвке оказались утки нечётные. Потому что, когда барон складывал номера этих уток подряд, у него вслед за единицей оказалось число 4 (1+3=4), далее 1+3+5=9, затем 1+3+5+7=16… Таким образом, в сумме у него всё время получались квадраты количества отсчитываемых уток: 1=1^2, 4=2^2, 9=3^2, 16=4^2 и так далее.— До-ка-за-тель-ства! До-ка-за-тель-ства! — скандировали активисты.— Обратите внимание, — успокоил их Олег, — любое нечётное число можно получить, умножив его порядковый номер на два и вычтя затем единицу. Например, 7 — четвёртое по порядку нечётное число. Умножим 4 на 2 и вычтем 1 — получим: 4*2-1=7. Обобщая это правило, можно сказать, что всякое «иксовое» нечётное число равно (2x-1). А теперь сложим икс последовательных нечётных чисел, начиная с единицы. По правилу арифметической прогрессии надо сложить первый и последний члены, умножить сумму на число всех членов и разделить на два. Итак, обозначив сумму икс членов латинской буквой S, найдём, что 1+(2x-1)S = — — x = x^2.2
— Что и требовалось доказать, — закончил Олег под дружный вздох удовлетворения.Переждав очередной взрыв активистских эмоций, Таня быстро и толково разобралась в другой закономерности утиных номеров. Она обратила внимание присутствующих на то, что если брать по порядку сперва число 1, затем сумму двух последующих нечётных чисел: 3+5, далее сумму трех последующих нечётных чисел: 7+9+11, затем — сумму четырех и так далее, то при этом как раз получается та любопытная зависимость, которую подметила Единичка. Эти суммы представляют из себя кубы последовательных целых чисел: 1 = 1^33+5 = 2^3 = 87+9+11 = 3^3 = 2713+15+17+19 = 4^3 = 64 и так далее.
— Точно подмечено, — сказал Олег. — Но из этого вытекает ещё одна любопытная штука. Попробуем сложить правые и левые части Таниных равенств: 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 = 1^3+2^3+3^3+4^3.
— Но ведь только что, — продолжал Олег, — Сева доказал, что левая часть этой суммы должна быть полным квадратом. А так как слева написано 10 последовательных нечётных чисел, то очевидно, что 10^2=1^3+2^3+3^3+4^3.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14