Лицо его кривилось, он сопел и хлюпал носом — вот-вот разревётся.Добрая Единичка сразу же принялась его утешать и выяснять причину его огорчения. Вот что она узнала. Оказывается, то, что мы приняли за яму, на самом деле было колодцем, причём необычным. Колодцем, откуда добывают не воду, а молочный кисель!Да, да, глубоко под землёй протекает молочная река с кисельными берегами. И вот предприимчивые террапантерцы построили там подземный завод, откуда поступает наверх сладкий кисельно-молочный коктейль. Для того чтобы получить порцию этого деликатеса, надо опустить в колодец цилиндрическое ведёрко. Ведёрко наполнят, и тогда тащи его обратно на здоровье!— Так что же ты горюешь? — сказала Единичка, пожав плечами. — Опускай любое ведёрко, и дело с концом.Но мальчика совет Единички ничуть не обрадовал.— Как бы не так! — возразил он сердито. — В том-то и дело, что выбрать надо такое ведёрко, чтобы оно одновременно касалось всех трех стенок колодца и скользило по ним. Иначе вместо киселя останешься с носом.Внимательно оглядев колодец и ведёрки, я убедился, что отверстие колодца — прямоугольный треугольник, а донья цилиндрических ведёрок — правильные круги. В общем, я быстро сообразил, в чём заключалась задача. Надо было в прямоугольный треугольник вписать круг, то есть найти ведёрко с подходящим диаметром.— Все в порядке! — заверил я малыша. — Сейчас измерю стороны треугольного колодца, затем вычислю диаметр вписанного круга, и бульон, то есть кисель, готов!Но мальчишка продолжал капризничать: — Ни к чему все это! Чтобы выбрать ведёрко, полагается пользоваться только тем, что здесь написано!И он указал на дощечку, где чёрным по белому было нацарапано. «Длина гипотенузы — 13 дециметров, сумма обоих катетов — 17 дециметров».— Отлично! — обрадовался я. — По этим данным легко вычислить длину каждого катета в отдельности. Стоит только применить теорему Пифагора. А там уж по известной формуле нетрудно вычислить и радиус вписанного круга.Но тут мальчик окончательно вышел из себя:— Не хочу Пифагора, хочу киселя! Я ваших формул не знаю!— А четыре действия арифметики знаешь? — спросила его Единичка.— Знаю! — буркнул тот. — Да что толку? Из них киселя не сваришь!— А вот и сваришь, — сказала Единичка. — И даже не из четырех, а всего только из одного!— Как так? — спросил малыш недоверчиво.— Да так. Достаточно знать всего лишь одно из четырех арифметических действий, чтобы выбрать нужное ведёрко. Разумеется, с помощью тех чисел, которые указаны на дощечке. Хочешь, попробую?Единичка, конечно, малость прихвастнула. Пусть теперь сама и выкручивается! И, представьте себе, выкрутилась: мигом схватила одно из десятка ведёрок, и оно подошло словно по заказу! В общем, через минуту все мы, — мальчик, Единичка и я — лакомились превосходным молочным киселём.Скоро маленький сластёна повеселел и разговорился.— Люблю я это место, — говорил он, облизываясь. — Когда папа отправляется путешествовать, он всегда привозит меня сюда, к кисельному колодцу. Только прежде нужное ведёрко подбирал для меня он. А на этот раз пришлось мне подбирать самому.— Это почему же? — поинтересовался я.— Да потому что папа срочно уехал. Тут за ним какой-то чудак гонится…Я насторожился.— Вот как! А нельзя ли узнать, кто твой папа?— Мой папа? — Малыш гордо выпрямился. — Мой папа Альбертино Джерамини-младший, первый человек во всей Терранигугу!Тут я хлопнул себя по лбу, и в голове моей всплыло то, что я безуспешно пытался вспомнить: пресловутая марка, Чёрный Лев, развалины особняка Джерамини и т.д. и т.п… Как же мне повезло!— А не скажешь ли, где твой папа сейчас? — спросил я осторожно, стараясь не выдать своего нетерпения.Мальчик поднял голову и ткнул пальцем в небо:— Во-о-он он где!— Ах ты, маленький обманщик! — рассердился я. — Нет там никакого папы! Только самолёт летит.— А в самолёте — папа! Оставил меня тут киселя хлебать, а сам полетел дальше в эту… как её? Эх, забыл!— Экий ты, братец, разиня! — сказал я с досадой. — Самое главное — и забыл. Может, вспомнишь?Любитель молочного киселя нахмурил брови и задумался. Вдруг лицо его прояснилось.— Вспомнил! — закричал он. — Вспомнил! В Сьеррадромадеру! Вот куда!Дальше я уже не слушал. Подхватив на руки отчаянно брыкающегося мальчишку, я подал знак Единичке, и мы, ни слова не говоря, помчались… Куда? Наберитесь терпения и подождите следующего сообщения. А пока до свидания! ДВАДЦАТЬ ТРЕТЬЕ ЗАСЕДАНИЕ КРМ, состоявшееся у Олега, проходило под музыкальный аккомпанемент. Таня принесла гитару, Сева — барабан, скрипка нашлась у хозяина дома. Нулик скромно ограничился гребёнкой, обтянутой папиросной бумагой, хотя идея создания квартета принадлежала ему.— Магистру и Единичке пришлось стать музыкантами поневоле, а мы займёмся музыкой добровольно, — заявил он. — Я уж нашему ансамблю и название придумал. СУДАК имени Рассеянного Магистра. Что, звучит?— Смотря какой судак, — деловито сказал Сева. — Если жареный…— Да нет! — поморщился президент. — Не рыба, а Струнно-Ударно-Духовой Ансамбль Клуба…Должность дирижёра доверили мне, хотя по всему видно было, что метит на неё сам учредитель. Однако играть на гребёнке и одновременно дирижировать — задача безнадёжная. Потому президент только вздохнул и сказал:— Заседание считаю открытым. И прошу запомнить, что сегодня я от математики отдыхаю. Где музыка, там математике делать нечего.— Э, нет! — возразил я. — Без математики и в музыке не обойтись.— Ну да! — недоверчиво усмехнулся Нулик. — Какая ж тут математика? До-ре-ми-фа-соль-ля-си…Он тут же воспроизвёл эту гамму на своём инструменте, но гребёнка оказалась такой скрипучей, что все дружно заткнули уши.— И всё-таки, — сказал я, когда какофония стихла, — музыкальная гамма родилась именно с помощью математики, и изобрёл её, ни много ни мало, сам Пифагор.— Да, да, — небрежно проронил президент, — что-то в этом роде я уже слышал, но убей меня бог, если что-нибудь запомнил. Как это теперь говорят? Я не в силах переварить такой большой поток информации.— Что делать, — сказал я, — придётся тебе поднатужиться.— Понятно! — кивнул Нулик. — Сейчас вы станете объяснять, какое среднее музыкальное пришлось уплатить Магистру за вилион… виолончель…— Угадал! Только число это называется не средним музыкальным, а средним гармоническим.Нулик скорчил недовольную гримаску.— Ну, мне от этого не легче. Лучше скажите: почему среднее гармоническое восьми и восемнадцати равно 11 леопардам и 1 ягуару?— "Почему, почему"!.. — проворчала Таня. — Потому что в одном леопарде 13 ягуаров.— Это я и сам знаю. А всё-таки, почему одиннадцать целых и одна тринадцатая есть среднее гармоническое восьми и восемнадцати?Таня засмеялась.— Хитрюга! Спросил бы уж прямо, что такое среднее гармоническое.— Ему престиж не позволяет! — подтрунил Сева.— Ладно, — миролюбиво сказал я, — выясним, что такое среднее гармоническое. Но для этого вспомним сперва, что такое среднее арифметическое и среднее геометрическое.— Это я знаю, — оживился президент. — Среднее арифметическое двух чисел — это половина их суммы.— А среднее геометрическое?— А среднее геометрическое двух чисел есть корень квадратный из их произведения.— Отлично! — сказал я. — Хорошо бы это записать.— Запишем так, — отвечал Нулик:среднее арифметическое = (A+B)/2среднее геометрическое = sqrt(AB)Что, верно?— Верно.— Но какое отношение все это имеет к среднему гармоническому?— Самое прямое, — сказал я. — Потому что среднее гармоническое так относится к среднему геометрическому, как среднее геометрическое к среднему арифметическому.— Давайте запишем и это, — предложил президент.— Запишем, — согласился я и написал на бумажке: (среднее гармоническое)/(среднее геометрическое)=(среднее геометрическое)\(среднее арифметическое)
А если подставить сюда уже известные нам буквенные выражения, пропорция эта будет выглядеть так: (среднее гармоническое)/(sqrt(AB))=(sqrt(AB))/((A+B)/2)
Отсюда среднее гармоническое = (sqrt(AB)*sqrt(AB)2AB)/((A+B)/2A+B)
— Ага! — обрадовался Нулик. — Теперь подставим сюда цены скрипки и контрабаса. Допустим, цена скрипки — A. Подставляем, стало быть, 8. Цена контрабаса — B. Подставляем 18. Тогда среднее гармоническое = 2*8*18/(8+18)
Теперь все это взбалтываем, смешиваем и получаем 144/13, или 11(1/13).— Ну вот, — облегчённо вздохнул Сева. — Их президентское высочество ублаготворены: леопарды и ягуары сошлись.— По-моему, — вставил Олег, — надо ещё обратить внимание на то, что из всех трех средних самое большое — среднее арифметическое, а самое маленькое — среднее гармоническое.Нулик поднял светлые бровки.— Всегда?— Нет, не всегда, а только в том случае, если числа A и B не равны между собой.— А если равны?— Ну, тогда все три средних тоже равны между собой.— Все это хорошо, — важно сказал президент, — но не кажется вам, что разговор у нас какой-то чудной? Сперва говорили про музыку, потом про Пифагора, а потом забыли и про то, и про другое.— Ничего мы не забыли, — возразил я. — Теперь мы выяснили наконец, что такое среднее гармоническое, и потому можем вернуться к вопросу о связи математики с музыкой. Стало быть, и к Пифагору, который много занимался гармонией. А гармония для Пифагора была понятием широким. Он искал её и в геометрии, и в арифметике, и в движении небесных тел, и в музыке. И находил во всех этих областях науки общие законы гармонии. Пифагор создал целое учение о гармонии и главную роль в этом учении отводил числам. Особое значение придавал он первым четырём числам натурального ряда — 1, 2, 3 и 4. По его мнению, эти числа лежат в основе всякой гармонии…— Вот уж не нахожу, — перебил Нулик. — Четыре — ещё куда ни шло, но тройка, тем более — двойка… Ничего в них хорошего нет! Так, по крайней мере, говорит моя мама, когда я показываю ей свой школьный дневник.— Ну, мама, очевидно, подразумевает совсем другое, — улыбнулся я, — а Пифагор считал эти числа фундаментом мировой гармонии. Он пристально изучал их отношения, или, лучше сказать, соотношения, и очень неожиданно применил их в музыке.— Что ж такое он сделал? — спросил президент, весьма заинтригованный.— Да на первый взгляд ничего особенного: взял обыкновенную струну и натянул её на доску.— Это и я могу! — отозвался президент. — Струну можно снять со скрипки, а доску добыть — дело нехитрое.— Нет, скрипку разорять ни к чему, — быстро сказал Сева, к великому разочарованию президента, обожавшего все разбирать и развинчивать. — Скрипка — это ведь, собственно, и есть дощечка с натянутыми на неё струнами.— Отлично! — согласился я. — Возьмём скрипку и познакомимся с изобретением Пифагора на личном опыте. Вот струна. Ущипни-ка её, Нулик.Президент выполнил мою просьбу с удовольствием. — А теперь прижми струну к грифу точно посередине и ущипни её ещё разок… Слышишь? Этот звук получился гораздо тоньше первого, или, как говорят музыканты, выше.— Слышу! — подтвердил президент, не переставая терзать бедную струну.— Так вот, разность этих высот, или, как говорят, интервал между ними, принято называть октавой. И получилась октава оттого, что струну разделили в отношении 2:1. Теперь разделим струну на три части и прижмём на расстоянии двух третей. Ну-ка, что там у нас получилось?— Получился звук хоть и повыше, чем тогда, когда дёргали целую струну, зато чуть пониже, чем когда разделили струну на две части.— Правильно. Звук при этом получается выше не на октаву, а на так называемую квинту. И происходит это тогда, когда струну делят в отношении 3:2. А теперь разделим струну в отношении 4:3. Попросту прижмём её на расстоянии трех четвертей. Что получилось? Получился звук ещё чуть ниже, чем тогда, когда мы ущипнули две трети струны. Этот интервал между высотой звучания всей струны и высотой звучания трех её четвертей называется квартой.— Ишь ты, сколько интересного мы сегодня узнали, — сказал Нулик, загибая пальцы, — октава, квинта, кварта…— Попробуем узнать и ещё кое-что. Вычислим, во сколько раз октава больше кварты.— Вычислим, — повторил Нулик. — Вычтем из двух…— Нет, — остановил я его, — тут надо сделать другое. Надо найти, во сколько раз отношение 2:1 больше отношения 4:3.— Ну это просто. Надо разделить 2/1 на 4/3: 2/1 : 4/3 = 6/4.
А это все равно, что 3/2…— А что такое три вторых?Нулик растерянно молчал.— Подумай. Ведь мы об этом только что говорили!— Ой! — просиял президент. — Как же я забыл! Ведь это квинта! Квинта, которая получается, когда струну делят в отношении 3:2.— Верно, — сказал я. — Но что из этого следует?— Из этого следует, — догадался Олег, — что октава состоит из квинты и кварты.Нулик завистливо вздохнул.— Удивительный человек Пифагор! Какие названия выдумал — квинта, кварта…— Ну, положим, названия эти появились гораздо позже.— Когда?— Много будешь знать — скоро состаришься. Раз ты такой любопытный, попытайся лучше выяснить, во сколько раз квинта больше кварты.Президент засучил рукава.— С удовольствием! — И написал на клочке бумаги: 3/2 : 4/3 = 9/8.
Верно?— Верно. Заодно не мешает сказать, что интервал, равный девяти восьмым, условились считать за один музыкальный тон.На сей раз Нулика моё сообщение совершенно не обрадовало.— Квинты, кварты! — проворчал он, пожимая плечами. — А где же всё-таки среднее гармоническое?— К нему-то мы и подошли. Дело в том, что, кроме чисел 1, 2, 3 и 4, Пифагору приглянулась ещё одна четвёрка чисел: 6, 8, 9 и 12. Они полюбились ему уже хотя бы потому, что отношение 12:6 равно отношению 2:1 и даёт октаву; отношение 12:8 равно отношению 3:2 и даёт квинту; а отношение 12:9 равно отношению 4:3 и даёт кварту. Пифагор обратил внимание также на средние числа этой великолепной четвёрки — 8 и 9. Здесь интересно вспомнить, что отношение 9:8 соответствует одному тону…— Но что замечательного нашёл Пифагор в этих числах? — спросил Сева.— Во-первых, девять — это среднее арифметическое шести и двенадцати, то есть крайних чисел этой четвёрки: (6+12)/2 = 9.
— А восемь?— А восемь, — неожиданно сказал Олег, — восемь — это их среднее гармоническое. Вот смотрите: 2*6*12/(6+12) = 8.
— Наконец-то! — закричал президент и на радостях снова задудел на своей гребёнке, после чего стало совершенно ясно, что с музыкой на сегодня необходимо покончить.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20